קבוצה סגורה
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה, קבוצה סגורה היא קבוצה שמכילה את השפה שלה, כלומר שכל הנקודות ש"צמודות לה" שייכות לה. זוהי המשמעות האינטואיטיבית ביותר של המושג, אך משמעותו האמיתית תלויה בהקשר המדוייק שבו משתמשים בו. דוגמה לקבוצה סגורה היא הקטע [0,1] שעל הישר הממשי, אשר כולל את כל הנקודות בין 0 ל-1, ואת השפה שהיא 0 ו-1,ולכן הוא סגור.
באנליזה, כאשר עוסקים במרחב האוקלידי ה-n ממדי, קבוצה U היא סגורה אם היא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה. הגדרה זו תקפה גם עבור מרחב מטרי כלשהו.
ניתן גם להגדיר קבוצה סגורה בעזרת שימוש במושג הסגור: קבוצה סגורה היא קבוצה ששווה לסגור שלה.
במרחב טופולוגי כללי לא קיים יותר מושג המרחק, ולכן לא ניתן להגדיר קבוצות סגורות באמצעותו. תחת זאת בוחרים לרוב להגדיר קבוצה סגורה בתור קבוצה שהמשלים שלה הוא קבוצה פתוחה. נשים לב כי במרחבים מטריים כלליים העובדה שקבוצה שמשלימתה סגורה היא קבוצה פתוחה נכונה תמיד, והדבר בר הוכחה מתכונות המרחב, ולכן הגדרה זו מהווה הכללה של מושג הקבוצה הסגורה.
ניתן גם להשתמש בקבוצה הסגורה בתור מושג היסוד שעליו נבנית הטופולוגיה של המרחב - עבור קבוצת אברי המרחב בוחרים משפחה של קבוצות חלקיות לה שמקיימות מספר תכונות מיוחדות (המתקיימות לקבוצות סגורות במובן המטרי) ומגדירים אותן "קבוצות סגורות". מהגדרה זו ינבעו כל הקבוצות הפתוחות שבמרחב, ועל כן דרך הגדרה זו אינה שונה מהגדרת טופולוגיה באמצעות קבוצות פתוחות.
| טופולוגיה קבוצתית |
| מרחב מטרי | מרחב טופולוגי | קבוצה פתוחה | קבוצה סגורה | פנים | סגור | שפה | סביבה | נקודת הצטברות | בסיס | רציפות | הומיאומורפיזם | קשירות | מרחב ספרבילי | אקסיומות ההפרדה | מרחב האוסדורף | מרחב רגולרי | מרחב רגולרי לחלוטין | מרחב נורמלי | פונקציית אוריסון | מרחב מכפלה | משפט טיכונוף | סדרת קושי | קומפקטיות | קומפקטיפיקציה | קומפקטיות מקומית | אקסיומות המנייה | מרחב בייר | טופולוגיה חלשה |
| אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה |
ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.
