שדה המספרים המרוכבים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

שדה המספרים המרוכבים מופיע בשלב האחרון בבנייה השיטתית של מערכות מספרים, והוא מוגדר על-ידי הוספת השורש הריבועי של $\ -1$ לשדה המספרים הממשיים $\ \mathbb{R}$ . מקובל לסמן את השדה המתקבל באות $\ \mathbb{C}$ .

השדה המרוכב הוא שדה סגור אלגברית, כלומר, לכל פולינום (שאינו קבוע) עם מקדמים מרוכבים יש שורש מרוכב. כתוצאה מכך, לכל פולינום ממעלה $\ n$ יש בדיוק $\ n$ שורשים (אם סופרים את הריבוי של כל שורש). עובדה זו נקראת לפעמים המשפט היסודי של האלגברה.

מבחינה פורמלית הדרך הקלה ביותר להגדיר את השדה המרוכב היא כהרחבה של שדה הממשיים באמצעות סיפוח שורש של הפולינום $\ x^2+1$ , כלומר $\ \mathbb{C}$ הוא חוג המנה $\ \mathbb{R}[x]/\left(x^2+1\right)$ .

[עריכה] בניה מפורטת של השדה המרוכב

מגדירים פעולות של חיבור וכפל על האוסף $\ \mathbb{R}^2$ של זוגות סדורים של מספרים ממשיים, באופן הבא:

$\ (x,y)+(a,b)=(x+a,y+b)$

$\ (x,y)\times(a,b)=(xa-yb,xb+ya)$ .

כדי לראות שפעולות אלה הופכות את $\ \mathbb{R}^2$ לשדה, בודקים את התכונות הבאות:

פעולות הכפל והחיבור הן קומוטטיביות, אסוציאטיביות ודיסטריבוטיביות.
קיים איבר נייטרלי ביחס לחיבור, $\ (0,0)$ .
קיים איבר נייטרלי ביחס לכפל, $\ (1,0)$ .
לכל איבר $\ (x,y)$ קיים איבר נגדי ביחס לחיבור $\ (-x,-y)$ .
לכל איבר $\ (a,b)$ השונה מ $\ (0,0)$ קיים איבר הופכי ביחס לכפל $\ (\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2})$ .

הזוגות מהצורה $\ (x,0)$ מקיימים $\ (x,0)+(y,0)=(x+y,0)$ ו- $\ (x,0)\times (y,0)=(xy,0)$ , ולכן ההתאמה $\ x\mapsto (x,0)$ מהווה שיכון של שדה הממשיים בשדה החדש. לפי הגדרת הכפל, $\ (0,1)\times (0,1)=(0\cdot 0-1\cdot 1,0\cdot 1+1\cdot 0)=(-1,0)$ , כלומר: בשדה החדש קיים שורש ל- $\ -1$ (אותו אנו מסמנים ב- $\ i$ ), ואז כל איבר בשדה הוא מהצורה $\ x+iy$ כאשר $\ x,y\in \mathbb{R}$ .

[עריכה] סימונים בשדה המרוכבים

$\ i$ - הסימון לשורש הריבועי של $\ -1$ ומסומן על ידי $\ i^2=-1$
$\ z$ - הסימון למספר מרוכב ומוגדר כ- $\ z = a +ib$
$\ Re(a+ib)=a$ - פונקציה המחזירה את החלק הממשי ( $\ a$ ) של $\ z$
$\ Im(a+ib)=b$ - פונקציה המחזירה את החלק המדומה ( $\ b$ ) של $\ z$

[עריכה] פונקציות סטנדרטיות מעל שדה המרוכבים

[עריכה] כפל מספרים מרוכבים

במקום לזכור את ההגדרה הפורמלית של כפל המרוכבים, קל לבצע את ההכפלה בהצגה $\ z = a +ib$ , להשתמש בתכונת הדיסטריבוטיביות ולזכור ש $\ i^2 = -1$ , באופן מפורש: $\ (a_1+ib_1) \cdot (a_2+ib_2) = a_1a_2 + ia_1b_2 + ib_1a_2 + i^2 b_1b_2 = a_1a_2 - b_1b_2 + i(a_1b_2+b_1a_2)$

[עריכה] הערך המוחלט

בנוסף, הערך מוחלט של מספר מרוכב מוגדר על ידי $\ \left| a+bi \right|=\sqrt{a^2+b^2}$ כאשר המוטיבציה להגדרה היא הנורמה האוקלידית.

$\ \mathbb{C}$ הוא מרחב וקטורי מממד 2 מעל $\ \ \mathbb{R}$ , והערך המוחלט מהווה נורמה מעל $\ \mathbb{R}$ (שכן הוא מקיים תכונות כגון אי שוויון המשולש). כך הופך השדה המרוכב להיות מרחב נורמי שלם.

[עריכה] הצמוד המרוכב

מלבד החלק הממשי והחלק המדומה (ראה מספר מרוכב), מגדירים גם את הצמוד המרוכב:

$\ \overline{a+ib} = (a+ib)^* = a-ib$ .

הערה: הסימון של הקו מקובל יותר בקרב מתמטיקאים ואילו סימון הכוכבית מקובל יותר בקרב הפיזיקאים

הצמוד המרוכב מקיים:

$\ \overline{zw}=\bar{z}\bar{w}$ ,
$\ \overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}$ ,
$\ \bar{\bar{z}}=z$

ולכן הצמדה $\ z\mapsto \bar{z}$ מהווה אוטומורפיזם מסדר 2. כמו כן, פעולת ההצמדה יוצרת מבנה אלגברי שנקרא אלגברה כוכב (*-אלגברה).

כמו כן:

באמצעות הצמוד המרוכב אפשר לחשב את הערך המוחלט של מספר מרוכב על-ידי $\ \left| z \right|=\sqrt{z \bar{z}}$ .
בפרט, $\ 0 \le z\bar{z} = |z|^2 \in \mathbb{R}$ הוא תמיד מספר ממשי אי-שלילי. תכונה זו שימושית במיוחד בשביל להגדיר ולחשב חילוק של מספרים מרוכבים. חילוק כזה מתבצא באופן הבא:

$\ \forall z \ne 0 : \quad \frac{w}{z} = \frac{w \cdot \bar{z}}{z\cdot \bar{z}} = \frac{ w \bar{z}}{|z|^2}$

ובכך הגדרנו חילוק מרוכבים באמצעות כפל מרוכב וחילוק במספר ממשי.

[עריכה] תכונות נוספות

$\ \overline{z-w}=\bar{z}-\bar{w}$
$\ \left| \bar{z} \right|= \left| z \right|$
$\ \left| z\cdot w \right|=\left| z\right|\left|w \right|$
$\ \left| z+w \right| \le \left| z\right|+\left|w \right|$ - אי-שיוויון המשולש
$\ \left| z-w \right| \ge \left| z\right|-\left|w \right|$ - נובע מאי-שיוויון המשולש

[עריכה] הצגה קוטבית והמישור המרוכב

אפשר להתאים את המספר המרוכב $\ x+yi$ לקואורדינטה הקרטזית $\ (x,y)$ במישור $\ \mathbb{R}^2$ . את המישור אפשר לתאר גם באמצעות קואורדינטות פולריות, הכוללות, עבור כל נקודה, את המרחק שלה מראשית הצירים ואת הזווית בין הקטע המחבר את ראשית הצירים לנקודה, לבין ציר ה- $\ x$ . הערך המוחלט של מספר מרוכב מייצג את מרחקו מראשית הצירים (ע"פ משפט פיתגורס), ואילו הזווית ניתנת לחישוב באמצעות פונקציית הטנגנס: $\ \tan\theta=\frac{y}{x}$ לכל מספר מרוכב $\ x+yi$ שאינו מדומה (למספר מדומה (כאשר x=0), הזווית היא $\frac{\pi}{2}$ רדיאנים).

לזווית נקרא ארגומנט של המספר המרוכב. נשים לב שאין למספר מרוכב ארגומנט יחיד - מרגע שנמצא ארגומנט, כל זווית אחרת כך שהפרשן של שתי הזוויות הוא $\ 2\pi$ גם היא ארגומנט. לכן נהוג לרוב כאשר מדברים על הארגומנט של מספר מרוכב לבחור את הזווית ששייכת לקטע $\ (-\pi,\pi]$ .

על כן, כאשר נרצה להציג מספר מרוכב z בצורה קוטבית, נסמן ב-r את מרחקו מהראשית, וב $\ \theta$ את הזווית שהוא יוצר עם ציר ה-x, ואז $\ z=r\cos\theta+ri\sin\theta$ .

בדרך כלל משתמשים בקיצור $\ \operatorname{cis}\theta=\cos\theta+i\sin\theta$ . קיצור מקובל נוסף הוא $\ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ , שנובע מתכונות פונקציית האקספוננט עבור ערכים מרוכבים.

משפט דה מואבר: לכל $n\in\mathbb {N}$ מתקיים $(r\operatorname{cis}\theta)^n=r^n\operatorname{cis}(n\theta)$ .

נוסחת אוילר: לכל מתקיים: . מנוסחה זו נובעת גם שתי הזהויות הבאות:
- $\sin\theta =\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$
- $\cos\theta =\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$