演绎推理
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在传统的亚里士多德逻辑中，演绎推理是结论从叫做前提的已知事实“必然的”的得出的推理。如果前提为真，则结论必然为真。这区别于溯因推理和归纳推理，它们的前提可以预测出高概率的结论，但是不确保结论为真。
“演绎推理”还可以定义为结论在普遍性上不大于前提的推理，或结论在确定性上同前提一样的推理。
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[编辑] 示例
某些人可能会说: “因为下雨了，街道必然是湿的”。但是在这个陈述中有一个隐藏论证: “如果下雨，则街道会变湿”。使用这个前提“如果下雨，则街道会变湿”你可以论说“因为下雨了，街道是湿的”，但不能说“街道是湿的，所以下雨了”。你还可以说:“街道不是湿的，所以没有下雨”，但不能说“没有下雨，所以街道不能是湿的”。
这是因为街道变湿是下雨的不可避免的产物，但是街道变湿不必定是下雨导致的。所以基本陈述“如果某甲事物则某乙事物”可以逻辑上理解为“有某甲事物则必定有某乙事物”和“无某乙事物则不能有某甲事物”。这是两个基本有效推理类型。
例子：
有效的:
- 所有人都是會老死的。
- 苏格拉底是人。
- 所以苏格拉底是會老死的。
- 画像在桌子之上。
- 桌子在地板之上。
- 所以画像在地板之上。
- 因为北美红雀是鸟，
- 并且所有的鸟都有翅膀，
- 所以北美红雀有翅膀。
无效的:
- 真正的左翼政客不容忍虐待动物。
- G. Houseman 认为打狗是错的。
- G. Houseman 是真正的左翼政客。
- 所有罪犯都反对政府。
- 所有反对党的人都反对政府。
- 所以所有反对党的人都是罪犯。
这是无效的，因为前提不能在反对党和罪犯的成员之间建立共性(commonality)。这是著名的不周延中项谬论。
[编辑] 公理化
更加形式化的说，演绎是陈述的序列，每个陈述都可以从它前面的陈述推导出来。本质上，这导致了如何证明第一个句子的公开问题(因为它不能从任何事物得到)。公理化命题逻辑通过要求证明满足下列条件来解决这个问题:
来自 wff 的全体 Σ 的证明 α 是一个 wff 的有限序列:
- β1,...,βi,...,βn
这里的
- βn = α
并且对于每个 βi (1 ≤ i ≤ n)， 要么
-
- βi ∈ Σ
要么
-
- βi 是一个公理。
要么
-
- βi 是两个前面的 wff βi-g 和 βi-h 的肯定前件的输出。
不同版本的公理化命题逻辑都包含一些公理，通常是三个或多于三个，除了一个或更多的推理规则之外。例如 Gottlob Frege 公理化的命题逻辑，它也是这种尝试的第一个实例，有六个命题公理和两个规则。伯特兰·罗素和 Alfred North Whitehead 也提议了有五个公理的一个系统。
例如 Jan Lukasiewicz (1878-1956) 版本的公理化命题逻辑有接受如下公理的公理集合 A:
-
- [PL1] p → (q → p)
- [PL2] (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r))
- [PL3] (¬p → ¬q) → (q → p)
并且它有有一个规则的推理规则的集合 R，这个规则就是下面的肯定前件:
-
- [MP] 从 α 和 α → β, 推出 β。
推理规则允许我们从公理或给定的全体 Σ 的 wff 推导出陈述。
[编辑] 自然演绎逻辑
在 E.J. Lemmon 提出的我们称为系统 L 的一个版本的自然演绎逻辑中，我们首先没有任何公理。我们只有支配证明的语法的九个基本规则。
系统 L 的九个基本规则是:
- 假定规则 (A)
- 肯定前件规则 (MPP)
- 双重否定规则 (DN)
- 条件证明规则 (CP)
- ∧-介入规则 (∧I)
- ∧-除去规则 (∧E)
- ∨-介入规则 (∨I)
- ∨-除去规则 (∨E)
- 反证法规则 (RAA)
在系统 L 中，证明的定义有下列条件:
- 有一个 wff(合式范式)的有限序列
- 它的每行都被系统 L 的一个规则所证明
- 证明的最后一行是想要的(Q.E.D, quod erat demonstrandum, 是拉丁语: 这就是要证明的)，并且证明的最后一行只使用给出的前提；或者没有前提如果什么都没有给出的话。
如果没有前提给出，则相继式叫做定理。所以在系统 L 中定理的定义是:
- 定理是在系统 L 中使用空的假定集合能证明的相继式。
或者换句话说:
- 定理是在系统 L 中从假定的空集可以证明的相继式。
相继式的证明的一个例子(这里是否定后件):
| p → q, ¬q ├ ¬p [否定后件(MTT)] | |||
| 假定号 | 行号 | 公式(wff) | 使用的行和理由 |
|---|---|---|---|
| 1 | (1) | (p → q) | A |
| 2 | (2) | ¬q | A |
| 3 | (3) | p | A (for RAA) |
| 1,3 | (4) | q | 1,3,MPP |
| 1,2,3 | (5) | q ∧ ¬q | 2,4,∧I |
| 1,2 | (6) | ¬p | 3,5,RAA |
| Q.E.D | |||
相继式证明的一个例子(这里是一个定理):
| ├p ∨ ¬p | |||
| 假定号 | 行号 | 公式(wff) | 使用的行和理由 |
|---|---|---|---|
| 1 | (1) | ¬(p ∨ ¬p) | A (for RAA) |
| 2 | (2) | ¬p | A (for RAA) |
| 2 | (3) | (p ∨ ¬p) | 2, ∨I |
| 1, 2 | (4) | (p ∨ ¬p) ∧ ¬(p ∨ ¬p) | 1, 2, ∧I |
| 1 | (5) | ¬¬p | 2, 4, RAA |
| 1 | (6) | p | 5, DN |
| 1 | (7) | (p ∨ ¬p) | 6, ∨I |
| 1 | (8) | (p ∨ ¬p) ∧ ¬(p ∨ ¬p) | 1, 7, ∧I |
| (9) | ¬¬(p ∨ ¬p) | 1, 8, RAA | |
| (10) | (p ∨ ¬p) | 9, DN | |
| Q.E.D | |||
系统 L 的每行都有自己对输入或进入的类型的要求，它可以接受并拥有它自己的处理和计算于是它的输入使用的假定的方式。
[编辑] 引用
- Jennings, R. E., Continuing Logic, the course book of 'Axiomatic Logic' in Simon Fraser University, Vancouver, Canada
- Zarefsky, David, Argumentation: The Study of Effective Reasoning Parts I and II, The Teaching Company 2002
