丟番圖方程

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丟番圖方程又名不定方程、整係數多項式方程，是變數僅容許是整數的多項式等式；即形式如 $a_1 x_1^{b_1}+a_2 x_2^{b_2}+......+a_n x_n^{b_n}=c$ ，其中所有的 $a j$ 、 $b j$ 和 $c$ 均是整數，若其中能找到一組整數解 $m 1, m 2 ... m n$ 者則稱之有整數解。

丟番圖問題有數條等式，其數目比未知數的數目少；丟番圖問題要求找出對所有等式都成立的整數組合。對丟番圖問題的數學研究稱為丟番圖分析。

3世紀希臘數學家亞歷山大城的丟番圖曾對這些方程進行研究。

丟番圖方程的例子有貝祖等式、勾股定理的整數解、四平方和定理和費馬最後定理等。

[编辑] 一次不定方程

一次不定方程是形式如 $a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n = c$ 的方程，一次不定方程有整數解的充要條件為： $(a 1,..., a n)$ 須是 $c$ 的因數，其中 $(a 1,..., a n)$ 表示 $a 1,..., a n$ 的最大公因數。

若有二元一次不定方程 $a x + b y = c$ ，且 $(a, b) | c$ ，則其必有一組整數解x_1、y_1，並且還有以下關係式：

$x = x 1 + [b / (a, b)] t$
$y = y 1 - [a / (a, b)] t$

$t$ 為任意整數，故此一次不定方程有無限多解。請參見貝祖等式。

[编辑] 丟番圖分析

[编辑] 經典問題

有解答嗎？
除了一些顯然易見的解答外，還有哪些解答？
解答的數目是有限還是無限？
理論上，所有解答是否都能找到？
實際上能否計算出所有解答？

[编辑] 希爾伯特第十問題

1900年，希爾伯特提出丟番圖問題的可解答性為他的23個問題中的第10題。1970年，一個數理邏輯的結果馬蒂雅謝維奇定理（Matiyasevich's theorem）說明：一般來說，丟番圖問題都是不可解的。更精確的說法是，不可能存在一個演算法能夠判定任何丟番圖方程式否有解，甚至，在任何相容於 Peano 算數的系統當中，都能具體構造出一個丟番圖方程，使得沒有任何辦法可以判斷它是否有解。