無理數

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無理數，即非有理數之實數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之後的數字有無限多個，並且不會循環。常見的無理數有大部分的平方根、π和e（其中後兩者同時為超越數）等。無理數的另一特徵是無限的連分數表達式。

傳說中，无理数最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯发现。他以幾何方法證明 $\sqrt{2}$ 無法用整数及分數表示。而畢達哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信無理數的存在。但是他始終無法證明 $\sqrt{2}$ 不是無理數，後來希伯斯将无理数透露给外人——此知识外泄一事触犯学派章程——因而被处死，其罪名等同于“渎神”。

[编辑] 根号2

$\sqrt{2}$ 是最早被发现的无理数。

人們發現了许多方法证明 $\sqrt{2}$ 是无理数。以下是反證法的證明。

[编辑] 常見的證明

假設 $\sqrt{2}$ 是有理數，即有整數 $a$ 、 $b$ ， $\frac{a}{b}=\sqrt{2}$ 。
將 $\sqrt{2}$ 寫成最簡分數 $\frac{a}{b}$ ，即 $a$ 和 $b$ 互質，且 $\left(\frac{a}{b}\right)^2=2$
所以 $\frac{a^2}{b^2} =2$ ， $a 2 = 2 b 2$
因為 $2 b 2$ 必為偶数，故 $a 2$ 亦是偶数
故 $a$ 為偶数（奇数的平方不會是偶数）
所以必有一整數 $k$ ，使得 $a = 2 k$
將(3)的式子代入(6)： $2b^2=\left(2k\right)^2$
化简得 $b 2 = 2 k 2$
因为 $2 k 2$ 是偶数，所以 $b 2$ 是偶数，因此 $b$ 亦是偶数
所以 $a$ 和 $b$ 都是偶数，跟 $\frac{a}{b}$ 是最簡分數的假設矛盾。
因為我們發現矛盾，所以(1)的假設錯誤， $\sqrt{2}$ 不是有理數，即是無理數。

這個證明可推廣至證明任何自然數的平方根是否是無理數。

[编辑] 另一個證明

另外一個 $\sqrt{2}$ 是無理數的反證法證明比較少人知道，證明方法也相當漂亮。

假設 $\sqrt{2}$ 是有理數，便可以表示成最簡分數 $\frac{m}{n}$ ，其中m, n為正整數。
從 $\sqrt{2}=\frac{m}{n}$ ，可以推導出 $\sqrt{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=\frac{2-\frac{m}{n}}{\frac{m}{n}-1}=\frac{2n-m}{m-n}$ 。
因為 $\frac{m-n}{n}=\sqrt{2}-1 < 1$ ，所以m - n < n
$\frac{2n-m}{m-n}$ 是比 $\frac{m}{n}$ 更簡的分數，與 $\frac{m}{n}$ 是最簡分數的假設矛盾。