Równanie diofantyczne
Z Wikipedii
Równanie diofantyczne (od matematyka Diofantosa) to równanie, którego rozwiązania szuka się w zbiorze liczb całkowitych lub liczb naturalnych. Zwykle rozważa się równania diofantyczne o dwóch lub więcej niewiadomych – równania z jedną niewiadomą dają się rozwiązać metodami algebraicznymi.
Przykłady równań diofantycznych:
- równanie xn + yn = zn: dla n = 2 równanie to obrazuje zależność między długościami boków w trójkącie prostokątnym (zobacz: trójki pitagorejskie). Dla n > 2 równanie to nie ma rozwiązań – jest to treść wielkiego twierdzenia Fermata.
- równanie ax + by = c (a, b, c jest dane) jest równaniem diofantycznym liniowym. Ma rozwiąznie wtedy i tylko wtedy, gdy c dzieli największy wspólny dzielnik liczb a i b.
- równanie 2x + 1 = y2 ma w liczbach całkowitych jedno rozwiązanie: (3,3)
- równanie xy = yx ma w liczbach naturalnych dwa rozwiązania, gdy
: x = 2,y = 4 oraz x = 4,y = 2 - równanie x2 − ny2 = 1 (n > 0) zwane równaniem Pella (od nazwiska angielskiego matematyka Johna Pella; sam Pell nie zajmował się takimi równaniami) – jeżeli n jest kwadratem liczby naturalnej nie ma rozwiązań, jeżeli nie jest, ma ich nieskończenie wiele. Rozwiązania te się tablicuje w zależności od n.
[edytuj] Typowe problemy
Badając dane równanie diofantyczne staramy się przede wszystkim odpowiedzieć na nastepujące pytania:
- Czy ma ono rozwiąznia?
- Jeśli tak, to ile ich jest (skończenie, czy nieskończenie wiele)?
- Czy istnieje algorytm na ich wyznaczanie?
W przypadku wielu prostych równań te i inne pytania pozostawały bez odpowiedzi przed długie lata, a próby znalezienia ich częstokroć prowadziły do głębokich badań i rozwoju nowych teorii matematycznych. Klasycznym przykładem jest wielkie twierdzenie Fermata, które pozostawało bez dowodu przez blisko 350 lat!
