Kompakt

Wikipedia

I matematiken är kompakthet en egenskap hos topologiska rum och delmängder till topologiska rum. Ett topologiskt rum X sägs vara kompakt omm:

• Varje öppen övertäckning av X har en ändlig delövertäckning. Detta innebär att om , där är en familj av öppna mängder, så finns som är ändlig sådan att .
• En delmängd är kompakt omm varje övertäckning av A med mängder som är öppna i X har en ändlig delövertäckning.

Notera att definitionerna av kompakthet varierar. Exempelvis kräver Bourbaki även att ett kompakt rum ska vara ett Hausdorffrum, och kallar topologiska rum som inte är Hausdorff, men som uppfyller kravet ovan för kvasi-kompakt.

En mängd i är kompakt om och endast om den är sluten och begränsad. För en delmängd av ett fullständigt metriskt rum gäller att den är kompakt om och endast om den är sluten och totalt begränsad.

[redigera] Referens

J. L. Kelley, General Topology, van Nostrand, 1955.