Fundamentalgrupp
Wikipedia
 |
Denna artikel innehåller ifrågasatta faktauppgifter. |
| Se diskussionssidan, eller historiken, för mer information. Rätta gärna felaktigheter. |
En fundamentalgrupp är en av de mest grundläggande begreppen i algebraisk topologi. Det är en grupp associerad med varje punkt hos ett topologiskt rum som ger information om rummets endimensionella struktur. Fundamentalgruppen är den första homotopigruppen.
Innehåll |
[redigera] Intuition och definition
Innan vi ger oss på en definition av fundamentalgruppen ska vi försöka ge en mer intuitiv, icke-matematisk beskrivning av grundidén bakom den.
Tänk dig en underjordisk myrstack med en liten utgång uppe vid markytan. Varje dag ger sig myrorna ut på promenad i olika riktningar. Myrorna är nyfikna kryp med god orienteringsförmåga - de återvänder aldrig till myrstacken tillbaka längs med den väg de kom, men hittar ändå alltid tillbaka hem. Två myror som promenerar parallellt med varandra börjar med tiden slå följe längs med en gemensam bana. Efter en viss tid återstår bara de promenader som åtskiljs av någon form av hinder, exempelvis hål i marken, så att promenaderna inte kan kombineras till en. Varje myrstack, eller punkt i rummet, är associerad med en grupp sådana promenader, eller slingor, som beskriver det omgivande rummets grundläggande struktur - var hålen finns etc. Dessa promenader bildar rummets fundamentalgrupp.
En mer exakt definition: Låt X vara ett topologiskt rum och låt x0 var en punkt i X. Det vi söker är mängden kontinuerliga funktioner f : [0,1] → X med egenskapen f(0) = x0 = f(1). Dessa funktioner kallas slingor (eller slutna kurvor) med baspunkt x0. Två sådana slingor, f och g, sägs vara ekvivalenta om det finns en kontinuerlig funktion h : [0,1] × [0,1] → X sådan att för alla t i [0,1] är h(t,0) = f(t), h(t,1) = g(t) och h(0,t) = x0 = h(1,t). En funktion h med dessa egenskaper sägs vara en homotopi mellan f och g och de motsvarande ekvivalensklasserna kallas homotopiklasser, och homotopiklassen av f betecknas med [f].
Produkten f * g av två slingor f och g definieras genom att låta (f * g)(t) = f(2t) om t finns i [0,1/2] och (f * g)(t) = g(2t-1) om t finns i [1/2,1]. Dvs att slingan f * g först följer slingan f med "dubbla hastigheten" och sedan g med dubbla hastigheten. Produkten av två homotopiklasser av slingor [f] och [g] kan sedan definieras som [f * g] och man kan visa att en sådan produkt är oberoende av vilka instanser av f och g man väljer.
Mängden av alla homotopiklasser med baspunkt x0 bildar genom denna produkt fundamentalgruppen av X i punkten xo och betecknas π1(X,x0) eller enklare π(X,x0). Identitetselementet är den konstanta avbildningen till baspunkten och inversen definieras genom g(t) = f(1-t), dvs en invers av en slinga f är slingan g där g följer f baklänges.
I det generella fallet är fundamentalgruppen beroende av vilken baspunkt man väljer men det visar sig att för isomorfa strukturer har valet inte någon betydelse om rummet X är bågvis sammanhängande. För sådana X kan fundamentalgruppen därför definieras utan hänsyn till x0 och därför betecknas π(X) istället för π(X, x0) utan att tvetydligheter uppstår så länge vi inte skiljer på isomorfa strukturer.
[redigera] Exempel
I många rum, som Rn eller någon konvex delmängd av Rn, bildar alla slingor en enda homotopiklass och fundamentalgruppen blir därför trivial. Ett bågvis sammanhängande rum med en trivial fundamentalgrupp sägs vara enkelt sammanhängande.
Ett mer intressant fall är cirkeln där varje homotopiklass består av alla slingor som lindar sig runt cirkeln ett visst antal gånger (medurs eller moturs). Produkten av en slinga som lindar sig runt cirkeln m gånger och slingan som lindar sig runt n gånger är en slinga som lindar sig runt m + n gånger. Cirkelns fundamentalgrupp är alltså isomorf med Z, gruppen av alla heltal. Detta faktum kan användas för att hitta bevis för Brouwers fixpunktssats och Borsuk-Ulams teorem i två dimensioner.
Eftersom fundamentalgruppen är en homotopiinvariant är teorin om det komplexa planets omloppstal minus en punkt densamma som för cirkeln.
Till skillnad från homologi- och homotopigrupper för topologiska rum av högre dimension, behöver inte fundamentalgruppen vara en abelsk grupp. Till exempel är en graf G:s fundamentalgrupp en fri grupp med kardinalitet 1 − χ < (G), 1 minus G:s Eulerkarakteristik. Ett mer komplicerat fall av ett rum med en icke-abelsk fundamentalgrupp är treklöverknutens komplement i R3.
[redigera] Funktorialitet
Om f : X → Y är en kontinuerlig avbildning, x0∈X, y0∈Y och f(x0) = y0, kan varje slinga i X med baspunkt x0 avbildas med f till en slinga i Y med baspunkt y0. Denna operation är kompatibel med homotopiekvivalensrelationen och bildandet av slingor, vilket gör att vi får en grupphomomorfism från π(X, x0) till π(Y, y0). Denna homeomorfism betecknas π(f) eller f*. Vi får alltså en funktor från kategorin med topologiska rum med en baspunkt till kategorin med grupper.
Denna funktor, visar det sig, kan inte urskilja kontinuerliga avbildningar som är homotopiska gentemot baspunkten: Om f och g : X → Y är kontinuerliga avbildningar där f(x0) = g(x0) = y0, och f och g är homotopiska visavi x0, då är f* = g*. Följaktligen har två homotopiskt ekvivalenta bågvis sammanhängande rum isomorfa fundamentalgrupper.
[redigera] Relationen till första homologigruppen
Det finns ett samband mellan fundamentalgrupperna hos ett topologiskt rum X och dess första singulära homologigrupp eftersom en slinga också är en singulär 1-cykel. En avbildning av varje slingas homotopiklass i baspunkt x0 på slingans homologiklass ger en homomorfism från fundamentalgruppen π(X,x0) till homologigruppen H1(X).
Om X är bågvis sammanhängande är denna homomorfism surjektiv och dess kärna är kommutatorundergruppen till π(X,x0) vilket gör H1(X) isomorft med den homomorfism som knyter fundamentalgruppen π(X.x0) till en abelsk grupp.
[redigera] Besläktade begrepp
Fundamentalgruppen mäter strukturen för 1-dimensionella hål hos ett rum. För att studera hål av högre dimension används homotopigrupper av högre ordning, där elementen i den n:te homotopigruppen av X utgörs av homotopiklasser av avbildningar (som bevarar en baspunkt) av sfären Sn till X.
