Численное интегрирование

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Определённый интеграл как площадь фигуры

Численное интегрирование — вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближенное), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком интегрируемой функции и отрезками прямых $x=a\,\!$ и $x=b\,\!$ , где $a\,\!$ и $b\,\!$ — пределы интегрирования (см. рисунок).

Необходимость применения численного интегрирования чаще всего может быть вызвана отсутствием у первообразной функции представления в элементарных функциях и, следовательно, невозможностью аналитического вычисления значения определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

[править] Одномерный случай

Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически. При этом для оценки значения интеграла получаются формулы вида

$I \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, f(x_i),$

где $n\,\!$ — число точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции. Точки $x_i\,\!$ называются узлами метода, числа $w_i\,\!$ — весами узлов. При замене подынтегральной функции на полином нулевой, первой и второй степени получаются соответсвенно методы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона). Часто формулы для оценки значения интеграла называют квадратурными формулами.

[править] Метод прямоугольников

Метод прямоугольников получается при замене подынтегральной функции на константу. В качестве константы можно взять значение функции в любой точке отрезка $\left[a, b\right]\,\!$ . Наиболее часто используются значения функции в середине отрезка и на его концах. Соответсвующие модификации носят названия методов средних прямоугольников, левых прямоугольников и правых прямоугольников. Формула для приближенного вычисления значения определенного интеграла методом прямоугольников имеет вид

$I \approx f(x) (b-a)$ ,

где $x=\frac{\left(a+b\right)}{2}$ , $a\,\!$ или $b\,\!$ , соответсвенно.

[править] Метод трапеций

Если через концы отрезка интегрирования провести прямую, получим метод трапеций. Из геометрических соображений легко получить

$I \approx \frac{f(a)+f(b)}{2} (b-a)$ .

[править] Метод парабол (метод Симпсона)

Использовав три точки отрезка интегрирования можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет очень простой вид

$I \approx \frac{b-a}{6}\left(f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right)$ .

[править] Увеличение точности

Приближение функции одним полиномом на всем отрезке интегрирования, как правило, приводит к большой ошибке в оценке значения интеграла.

Для уменьшения погрешности отрезок интегрирования разбивают на части и применяют численный метод для оценки интеграла на каждой из них.

При стремлении количества разбиений к бесконечности, оценка интеграла стремится к его истинному значению для любого численного метода.

Приведенные выше методы допускают простую процедуру уменьшения шага в два раза, при этом на каждом шаге требуется вычислять значения функции только во вновь добавленных узлах. Для оценки погрешности вычислений используется правило Рунге.

[править] Метод Гаусса

Описанные выше методы используют фиксированные точки отрезка (концы и середину) и имеют низкий порядок точности (0, 1 и 3, соответственно). Если мы можем выбирать точки, в которых мы вычисляем значения функции $f(x)\,\!$ , то можно при том же количестве вычислений подынтегральной функции получить методы более высокого порядка точности. Так для двух (как в методе трапеций) вычислений значений подынтегральной функции, можно получить метод уже не 1-го, а 3-го порядка точности:

$I \approx \frac{b-a}{2}\left(f\left(\frac{a+b}{2} - \frac{b-a}{2\sqrt{3}} \right)+f\left(\frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2\sqrt{3}} \right) \right)$ .

В общем случае, используя $n\,\!$ точек, можно получить метод с порядком точности $2n-1\,\!$ . Значения узлов метода Гаусса по $n\,\!$ точкам являются корнями полинома Лежандра степени $n\,\!$ .

Значения узлов метода Гаусса и их весов приводятся в справочниках специальных функций. Наиболее известен метод Гаусса по пяти точкам.

[править] Метод Гаусса-Кронрода

Недостаток метода Гаусса состоит в том, что он не имеет легкого (с вычислительной точки зрения) пути оценки погрешности полученного значения интеграла. Использование правила Рунге требует вычисления подынтегральной функции примерно в таком же числе точек, не давая при этом практически никакого выигрыша точности, в отличие от простых методов, где точность увеливается в разы при каждом новом разбиении. Кронродом был предложен следующий метод оценки значения интеграла

$I \approx \sum_{i=1}^{n} a_i\, f(x_i) + \sum_{i=1}^{n+1} b_i\, f(y_i)$ ,

где $x_i\,\!$ — узлы метода Гаусса по $n\,\!$ точкам, а $3n+2\,\!$ параметров $a_i\,\!$ , $b_i\,\!$ , $y_i\,\!$ подобраны таким образом, чтобы порядок точности метода был равен $3n+1\,\!$ .

Тогда для оценки погрешности можно использовать эмпирическую формулу

$\Delta = \left(200 |I - I_G|\right)^{1.5}$ ,

где $I_G\,\!$ — значение интеграла, оценненое методом Гаусса по $n\,\!$ точкам. Библиотеки [gsl] и [SLATEC] для вычисления определенных интегралов содержат подпрограммы, использующие метод Гаусса-Кронрода по 15, 21, 31, 41, 51 и 61 точкам.

[править] Интегрирование при бесконечных пределах

[править] Методы Монте-Карло

[править] Многомерный случай

В небольших размерностях можно так же применять квадратурные формулы, основанные на многочленах Лагранжа. Однако в больших размерностях эти методы становятся неприемлемыми из-за быстрого возрастания числа точек сетки и/или сложной границы области. В этом случае применяется метод Монте-Карло. Генерируются случайные точки в нашей области и усредняются значения функции в них. Так же можно использовать смешанный подход — разбить область на несколько частей, в каждой из которых (или только в тех, где интеграл посчитать не удаётся из-за сложной границы) применить метод Монте-Карло.

[править] Литература

ISBN 5030033920 Д.Каханер, К.Моулер, С.Нэш. Численные методы и программное обеспечение (пер. с англ.). М.: Мир, 2001, 575 c.

Это незавершённая статья по математике.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Категории: Незавершённые статьи по математике | Вычислительная математика