Numerische Integration

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Numerische Integration mit dem Monte-Carlo-Algorithmus: Die Stützstellen werden zufällig gleichverteilt auf dem Integrationsintervall gewählt. Neue Stützstellen sind dunkelblau, die alten hellblau eingezeichnet. Der Wert des Integrals nähert sich 3,32 an.

In der numerischen Mathematik bezeichnet numerische Quadratur bzw. numerische Integration die näherungsweise Berechnung von Integralen. Oft kann man Integrale nicht geschlossen lösen, d.h. man kann keine Stammfunktion zu f(x) angeben. Deshalb versucht man, Näherungswerte zu ermitteln.

Wir bezeichnen mit

$J(f) = \int_{a}^{b}f(x)dx= Q(f) + E(f)$

das Integral der Funktion f(x) im Intervall [a,b]. Dies wird hier dargestellt als der Wert einer Quadraturformel Q(f) plus dem Fehler E(f).

Dazu unterteilt man die gesuchte Fläche in senkrechte Streifen und nähert jede dieser so erhaltenen Teilflächen durch einfache geometrische Figuren (z.B. Trapez) oder einfache Funktionen (z.B. Polynome) an.

Für die Flächenberechnung dieser einfachen Figuren benötigt man den Wert der Funktion f(x) an den so genannten Stützstellen $x 0,... x m$ . Die Summe über diese Teilflächen ergibt eine Näherung Q(f) des Integrals. Je schmaler man die einzelnen Teilflächen wählt desto genauer wird die Näherung. Von Interesse ist dann noch die Frage, wie groß der Fehler ist, der sich durch die Näherung ergibt. Dieser Fehler wird durch das Restglied E(f) beschrieben. Um die Anzahl der Funktionsauswertungen zu minimieren, bei gleichzeitiger Möglichkeit den Fehler zu kontrollieren, verwendet man oft das Rombergsche Extrapolationsverfahren. Hierbei werden die Integralwerte von immer kleiner werdenden 'Streifen' zu einer verschwindenden Breite hin extrapoliert.

[Bearbeiten] Spezielle Quadraturformeln

Man hat nun verschiedene Möglichkeiten, die einzelnen Teilflächen durch spezielle einfachere Flächen anzunähern. Die Anwendung der allgemeinen Quadraturformeln auf diese speziellen Flächen liefert einige bekannte und wichtige spezielle Quadraturformeln.

[Bearbeiten] Sehnentrapezformel

Man ersetzt die Kurve f(x) durch die Verbindungsgerade zwischen den Punkten (a,f(a)) und (b,f(b)) - also durch die Sehne - und erhält somit ein Trapez.

Mit

m = 1
x₀ = a
x₁ = b

erhält man die Koeffizienten β_j

z₀ = 0
z₁ = 1
β₀ = 1
β₁ = 0,5
β₂ = -1/6

und daraus schließlich die Sehnentrapezformel

$Q(f) = \frac{b-a}{2}(f(a)+f(b))$

Oder:

Fläche A von einem Trapez kann folgendermaßen berechnet werden: (aus der Geometrie)

$Flaeche_T = 0{,}5 \cdot (Seite_1 + Seite_2) \cdot Hoehe$

In unserem Beispiel schneiden wir ein Trapez im Intervall [a,b] aus. Daraus folgt:

S e i t e 1 = f (a)

S e i t e 2 = f (b)

H o e h e = b - a

Ergebnis:

$A = \frac{1}{2} \cdot (f(a) + f(b)) \cdot (b - a)$

[Bearbeiten] Tangententrapezformel

Man legt an die Kurve f(x) im Punkt c in der Mitte des Intervalls [a,b] die Tangente und erhält so wieder ein Trapez.

Mit

m = 1
x₀ = c
x₁ = c

erhält man die Koeffizienten β_j

z₀ = 0,5
z₁ = 0,5
β₀ = 1
β₁ = 0
β₂ = 1/12

und daraus schließlich die Tangententrapezformel

$Q(f) = (b-a) \ f \left( {a+b \over 2} \right)$

Oder:

Die Fläche A von dem Trapez, welches durch die Tangente begrenzt wird, lässt sich folgendermaßen berechnen:

Flaeche = (Funktionswert an der Stelle c) $\cdot$ Hoehe

(dadurch wird dieses Trapez zu einem Rechteck eingeebnet)

Die Fläche vom Trapez (mit den Seiten f(a) und f(b)) entspricht der Fläche von einem Rechteck mit der Seite f(c). c befindet sich in der Mitte zwischen a und b.

$c = \frac{a + b}{2}$

H o e h e = b - a

Ergebnis:

$A = f \left(\frac{a + b}{2} \right) \cdot (b - a)$

[Bearbeiten] Simpsonsche Formel oder Keplersche Fassregel

Interpoliert man die Funktion f(x) mittels eines quadratischen Polynoms in den Punkten a,b,c (c liegt in der Mitte von [a,b]), dann erhält man die simpsonsche Formel.

Mit

m = 3
x₀ = a
x₁ = b
x₂ = c
x₃ = c

erhält man die Koeffizienten β_j

z₀ = 0
z₁ = 1
z₂ = 0,5
z₃ = 0,5
β₀ = 1
β₁ = 1/2
β₂ = -1/6
β₃ = 0
β₄ = -1/120

und damit die Simpsonsche Formel

$Q(f) = \frac{b-a}{6} \cdot \left(f(a)+4 \cdot f \left(\frac{a+b}{2} \right)+f(b) \right)$

[Bearbeiten] Hermitsche Formel

Mit

m = 3
x₀ = a
x₁ = b
x₂ = a
x₃ = b

ergeben sich

z₀ = 0
z₁ = 1
z₂ = 0
z₃ = 1
β₀ = 1
β₁ = 1/2
β₂ = -1/6
β₃ = -1/12
β₄ = -1/30

[Bearbeiten] Allgemeine Quadraturformel

Mit Hilfe von Interpolationspolynomen und deren Lagrange-Darstellung kann man die folgende allgemeine Quadraturformel und das zugehörige Restglied herleiten.

Die allgemeine Quadraturformel für eine Teilfläche lautet

$Q(f) = \sum_{j=0}^m \beta_j(b-a)^{j+1}f(x_0,...,x_j)$

mit den Koeffizienten

$z_j = \frac{x_j -a}{b-a}$

$\beta_j=\left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{für }j\mbox{ = 0} \\ \int_0^1(z-z_0)...(z-z_{j-1}) dz & \mbox{für }j\mbox{ =1,2,...,m} \end{matrix}\right.$

Das Restglied beträgt

$E(f) = \int_a^b(x-x_0)...(x-x_m)f(x_0,..,x_m,x)dx$

Ist die Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ $(m + 1)$ -mal stetig differenzierbar ("reellwertig" wird nicht gefordert), dann lässt sich das Restglied nach oben abschätzen durch

$\left| E(f) \right| \le {(b-a)^{m+2} \over (m+1)!}\int_{0}^{1}{\left|(z-z_0)...(z-z_m)\right|dz}\ \max_{a\le x \le b} {\left| f^{(m+1)}(x) \right|}$

Wenn noch zusätzlich für alle Stützstellen im Intervall $[a, b]$ gilt $(x-x^j)\geq0$ oder alternativ $(x-x^j)\leq 0$ , dann hat der Integrand keinen Vorzeichenwechsel in $[a, b]$ und man kann zeigen:

$\int_{0}^{1}{\left|(z-z_0)...(z-z_m)\right|dz} = {\left|\beta_{m+1} \right|}$

Daraus folgt dann die Restgliedabschätzung

$\left| E(f) \right| \le {(b-a)^{m+2} \over (m+1)!}{\left|\beta_{m+1} \right|}\ \max_{a\le x \le b} {\left| f^{(m+1)}(x) \right|}$

Ist die Funktion $f$ zusätzlich noch reellwertig in $[a, b]$ , dann kann man mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Integralrechnung folgende Darstellung für das Restglied herleiten:

$E(f) = {(b-a)^{m+2} \over (m+1)!}{\beta_{m+1}}{f^{(m+1)}(\zeta)}$

mit einer Zwischenstelle $ζ$ im Intervall $[a, b]$ .

[Bearbeiten] Summierte Quadraturformeln

Um das Integral noch besser annähern zu können unterteilt man das Intervall $[a, b]$ in $N$ nebeneinanderliegende Teilintervalle $[a_1,b_1],[a_2,b_2],\ldots,[a_N,b_N]\quad\textrm{ mit }\ a_1=a;\ a_{k+1}=b_k;\ k=1,\ldots,N-1;\ b_N=b$ .

Die Teilintervalle müssen zunächst nicht die gleiche Länge haben.

In jedem Teilintervall wendet man im Folgenden die gleiche Näherung für die einzelnen Flächen an und addiert danach die entstandenen Näherungen.

Es gilt für jede Teilfläche

$\int_{a_k}^{b_k}f(x)dx = Q_k(f)+E_k(f)\quad k=1,...,N$

Daraus folgt für das gesamte Integral

$J(f) = \int_{a}^{b}f(x)dx = \sum_{k=1}^N \int_{a_k}^{b_k}f(x)dx = Q(f) + E(f)$

mit

$Q(f) = \sum_{k=1}^N Q_k(f)$

$E(f) = \sum_{k=1}^N E_k(f)$

Sei $f$ nun $(m + 1)$ -mal stetig differenzierbar im Gesamtintervall $[a, b]$ . Ferner sollen ab jetzt alle Teilintervalle die gleiche Länge $h$ haben, also

$h=b_k-a_k=\frac{b -a}{N}\quad k=1,...,N$

Dann gilt für die einzelnen Restglieder (siehe oben)

$\left| E_k(f) \right| \le {h^{m+2} \over (m+1)!}{\left|\beta_{m+1} \right|}\ \max_{a_k\le x \le b_k} {\left| f^{(m+1)}(x) \right|}$

Summierung über die einzelnen Restglieder ergibt die Abschätzung für das gesamte Restglied

$\left| E(f)\right| \le \sum_{k=1}^N \left| E_k(f) \right| \le (b-a){h^{m+1} \over (m+1)!}{\left|\beta_{m+1} \right|}\max_{a_k \le x \le b_k}{\left| f^{(m+1)}(x) \right|}$