Основная теорема алгебры
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Основная теорема алгебры утверждает, что
|
Всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет корень в поле комплексных чисел. |
Эквивалентная формулировка теоремы следующая:
|
Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. |
[править] Доказательство
Самое простое доказательство этой теоремы даётся методами комплексного анализа. Используется тот факт, что функция, аналитическая на всей комплексной плоскости и не имеющая особенностей на бесконечности, есть константа. Посему, функция, обратная многочлену должна иметь хоть один полюс на комплексной плоскости, а, соответственно, многочлен имеет хоть один корень.
[править] Следствие
Немедленным следствием из теоремы является то, что любой многочлен степени n над полем комплексных чисел имеет в нём ровно n корней. Доказательство следствия таково: у многочлена f(x) есть корень a, значит, по теореме Безу, он представим в виде (x-a)g(x), где g(x) — другой многочлен: применим теорему к g(x) и будем применять её таким же образом до тех пор, пока на месте g(x) не окажется линейный множитель.
[править] История
Как предположение эта теорема впервые встречается у немецкого математика Питера Роуте (ум. 1617). Первые доказательства основной теоремы алгебры принадлежат Жирару, 1629 г., и Декарту, 1637 г., в формулировке, отличной от современной. Маклорен и Эйлер уточнили формулировку придав ей форму, эквивалентную современной:
|
Всякий многочлен с вещественными коэффициентами можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с вещественными коэффициентами. |
Д'Аламбер первым в 1746 г. опубликовал доказательство этой теоремы. Во 2-й половине XVIII века появляются доказательства Эйлера, Лапласа, Лагранжа и других. Во всех этих доказательствах предполагается заранее, что какие-то «идеальные» корни многочлена существуют, а затем доказывается, что, по крайней мере, один из них является комплексным числом. Гаусс первым дал доказательство без этого предположения. Его доказательство, по существу, содержит построение поля разложения многочлена.
Со времён доказательства теоремы в алгебре было открыто очень много нового, поэтому сегодня «основной» эту теорему назвать уже нельзя: это название теперь является историческим.
