Teorema fundamental del álgebra

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El teorema fundamental del álgebra es un resultado clásico en matemática, que establece que todo polinomio (no constante) en una variable con coeficientes en el cuerpo de los números complejos tiene una raíz.

Corolario: Todo polinomio (no constante) en una variable con coeficientes en el cuerpo de los números complejos se factoriza como producto de factores lineales (es decir, de grado uno).

[editar] Introducción

Cualquier ecuación de cualquier grado siempre tiene por lo menos una solución ya sea un número real o un número complejo. Posiblemente extrañe un poco que exista preocupación en este sentido pero ocurre que hay ecuaciones no algebraicas que no tienen ninguna solución.

El teorema que dice que toda ecuación algebraica tiene por lo menos una solución, a pesar de ser uno de los más importantes postulados de la matemática permaneció mucho tiempo sin demostración.

En vista de su importancia se le conoce con el nombre de Teorema Fundamental del Álgebra.

Jean Le Rond d'Alembert fue el primero en demostrarlo. Sin embargo, había un punto defectuoso en su demostración, y era que d'Alembert asumía como verdadero un resultado de Cálculo diferencial que no había sido demostrado y que no tuvo demostración hasta un siglo después de escribir d'Alembert la suya.

Los exigentes y rigurosos matemáticos no permiten que sucedan cosas como éstas, así que se considera como el primer "demostrador" de este teorema a Carl Friedrich Gauss (1777-1855) quien asombraba a sus colegas; escribió no una, sino cuatro demostraciones diferentes de este teorema, ninguna de las cuales es elemental.

[editar] Desarrollo

El teorema fundamental del álgebra establece lo siguiente:

Todo polinomio de grado n, con coeficientes complejos , tiene exactamente n raíces no forzosamente distintas, es decir, contadas con su orden de multiplicidad.

Por ejemplo, el polinomio real (y por lo tanto también complejo) X³ - 2X² - 4X + 8 = (X-2)²(X+2) tiene 2 como raíz doble, y -2 como raíz simple, lo que da en total tres raíces.

En otras palabras, todo polinomio complejo no nulo puede escribirse como producto de factores lineales. Es decir sea un polinomio de grado n entonces se cumple:

con

puede factorizarse completamente, así:

, siendo (i variando entre 1 y n) las raíces del polinomio.

Los números complejos fueron inventados justamente para encontrar raíces de polinomios reales:i es por construcción una raíz de X²+1. Lo extraordinario del teorema es que no hace falta inventar un número para cada polinomio real que se quiera factorizar, porque con todas las combinaciones lineales entre i e 1 (es decir con los a + bi) se puede factorizar todos los polinomios reales, y también complejos. Esa propiedad significa que el cuerpo de los complejos es algebraicamente cerrado: no se puede salir de él buscando raíces de polinomios, que es la operación algebraica por excelencia.

Se tardaron dos siglos para completar la prueba de este teorema, del diecisiete al diecinueve. Figuras destacadas en está labor fueron d'Alembert y Gauss, este último encontró distintas pruebas. En algunos países el teorema lleva el nombre de teorema de d'Alembert – Gauss (o en el orden inverso, o con un solo apellido). Hoy en día la prueba más elegante está basada en la inducción, y su primer paso es demostrar que un polinomio no constante (es decir de grado superior o igual a uno) debe tener una raíz, gra

Demostración: Por reducción al absurdo: Supongamos que P(Z)≠0 para todo z∈C. Entonces, f(z)=1/P(z)=1/(a0+a1*z+a2*z^2+...+an*z^n) es una función compleja entera. Por tanto, lim z->∞ de f(z)= lim z->∞ de 1/(z^n*(a0/z^n+a1/z^(n-1)+...+an)=0 dado que ε>0 ∃R/|f(z)|<ε si |z|>R. Si se considera el círculo |z|≤R entonces f(z) es analítica en él y, además, acabamos de ver que está acotada en él. Por el Teorema de Liouville, f(z)=cte, lo cual es absurdo porque P(z) es un polinomio de grado mayor o igual que 1.