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代数基本定理是由高斯证明的。它指出，复数域上n次代数方程
在复数域中至少有一个根。
定理的推论指出，每个n次代数方程在复数域中有且仅有n个根(k重根按k个计算)。
高斯一生总共对这个定理给出了四个证明，其中第一个是在他22岁时（1799年）的博士论文中给出的。高斯给出的证明既有几何的，也有函数的，还有积分的方法。高斯关于这一命题的证明方法是去证明其根的存在性，开创了关于研究存在性命题的新途径。
同时，高次代数方程的求解仍然是一大难题。阿贝尔定理指出，对于一般的五次及五次以上的方程，不存在一般的代数解。
