Монотонная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Монотонная функция — вещественно-значная функция $f$ одного переменного, определенная на некотором подмножестве вещественных чисел, приращение которой $f (x) - f (y)$ при $x - y > 0$ не меняет знака, т. е. либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если в дополнении приращение не равно нулю то $f$ называется строго монотонной.

Иначе говоря, функция называется монотонной, если она возрастающаяя или убывающяя на всей области определения. Соответственно, функция называется строго монотонной, если она строго возрастающаяя или строго убывающяя При этом если предполагать, что дана функция $f$ определена на $M \subset \mathbb{R}$ то

Функция $f$ называется возрастающей на $M$ , если

$\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \ge f(y)$ .

Функция $f$ называется строго возрастающей на $M$ , если

$\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) > f(y)$ .

Функция $f$ называется убывающей на $M$ , если

$\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \le f(y)$ .

Функция $f$ называется строго убывающей на $M$ , если

$\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) < f(y)$ .

[править] Терминология

Иногда возрастающие функции называют неубывающими, а убывающие функции невозрастающими. Строго возрастающие функции тогда зовут просто возрастающими, а строго убывающие просто убывающими.

[править] Примеры

Экспонента $f (x) = e x$ строго возрастает на всей числовой прямой.
Парабола $f (x) = x 2$ строго убывает на на $(-\infty,0]$ и строго возрастает на $[0,\infty)$ .
Константа $f(x) \equiv a,\; a\in \mathbb{R}$ одновременно возрастает и убывает на всей числовой прямой.