Monotónní funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Průběh funkce

[editovat] Monotonie

Monotonie je vlastnost, označující, zda je funkce na daném intervalu monotónní, tzn. zda je konstantní, rostoucí, klesající, příp. nerostoucí, či neklesající.

Tato vlastnost bývá někdy označována jako monotonnost, popř. monotonicita.

Funkce je v bodě a rostoucí, jestliže existuje nějaké okolí U(a) bodu a takové, že pro všechna $x$ v tomto okolí platí:

$x > a \Rightarrow f(x) > f(a) \quad\and\quad x < a \Rightarrow f(x) < f(a)$ .

Obdobně je funkce klesající, pokud

$x > a \Rightarrow f(x) < f(a) \quad\and\quad x < a \Rightarrow f(x) > f(a)$ ,

nerostoucí pro

$x > a \Rightarrow f(x) \le f(a) \quad\and\quad x < a \Rightarrow f(x) \ge f(a)$ ,

a neklesající pro

$x > a \Rightarrow f(x) \ge f(a) \quad\and\quad x < a \Rightarrow f(x) \le f(a)$ .

Na obrázku je funkce rostoucí (a zároveň neklesající) například v intervalu $\langle x_3, x_5\rangle$ , klesající (a zároveň nerostoucí) například v intervalu $\langle x_2, x_3 \rangle$ .

[editovat] Monotónní funkce

Mezi monotónní funkce řadíme funkce:

konstantní funkce, tzn. pro každé $x \neq y$ z definičního oboru funkce $f (x)$ platí $f (x) = f (y)$
rostoucí funkce, tzn. pro každé $x < y$ z definičního oboru funkce $f (x)$ platí $f (x) < f (y)$
klesající funkce, tzn. pro každé $x < y$ z definičního oboru funkce $f (x)$ platí $f (x) > f (y)$
neklesající funkce, tzn. pro každé $x < y$ z definičního oboru funkce $f (x)$ platí $f(x) \leq f(y)$
nerostoucí funkce, tzn. pro každé $x < y$ z definičního oboru funkce $f (x)$ platí $f(x) \geq f(y)$

Rostoucí a klesající funkce označujeme jako ryze monotonní na daném intervalu. Interval, na kterém je funkce ryze monotónní, se nazývá interval monotonie.

K vyšetření, zda je funkce $f (x)$ v určitém bodě rostoucí nebo klesající se využívá první derivace $f^\prime(x)$ funkce, přičemž platí