Funzione monotona

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In matematica, le funzioni tra insiemi ordinati sono dette monotòne se mantengono l'ordinamento. Queste funzioni sono state dapprima definite in analisi e successivamente sono state generalizzate nell'ambito più astratto della teoria degli ordini. I concetti di monotonia nelle due discipline sono sostanzialmente gli stessi, anche se la terminologia è un po' differente. In analisi spesso si parla di funzioni monotone crescenti e monotone decrescenti, la teoria degli ordini invece preferisce i termini monotona e antitona oppure che conserva l'ordine (order-preserving) e che inverte l'ordine (order-reversing).

Indice 1 Definizione generale 2 Monotonia in analisi 2.1 Alcune applicazioni e risultati fondamentali 3 Monotonia nella teoria degli ordini 4 Logica monotona

[modifica] Definizione generale

Sia

una funzione tra due insiemi e , entrambi dotati di ordinamento parziale, denotato col simbolo ≤ per entrambi gli insiemi. Di solito in analisi si pone l'accento su funzioni tra sottoinsiemi dei numeri reali e la relazione d'ordine ≤ è la relazione d'ordine usuale dei numeri reali, ma questa posizione non è necessaria ai fini di questa definizione.

La funzione f si dice monotona se, per ogni , allora . Detto in altri termini, una funzione monotona conserva l'ordinamento.

[modifica] Monotonia in analisi

In analisi di solito non è necessario utilizzare i metodi astratti della teoria degli ordini. Come già sottolineato, le funzioni di solito operano tra sottoinsiemi dei numeri reali, ordinati secondo l'ordinamento naturale.

Prendendo spunto dalla forma che ha il grafico di una funzione monotona sui reali, queste funzioni vengono anche chiamate monotone crescenti (o monotone non decrescenti). Analogamente, una funzione viene detta monotona decrescente (o monotona non crescente) se, per ogni si ha che , cioè se inverte l'ordinamento.

Se la relazione d'ordine ≤ nella definizione di monotonia è sostituita dalla relazione d'ordine stretto <, allora si richiede una proprietà più forte. Una funzione che gode di questa proprietà viene detta strettamente crescente. Anche in questo caso, invertendo il simbolo di ordinamento, si può ottenere il concetto di funzione strettamente decrescente. Le funzioni strettamente crescenti o decrescenti sono biunivoche (perché a < b implica ).

I termini non decrescente e non crescente evitano ogni possibile confusione con strettamente crescente e strettamente decrescente, rispettivamente.

[modifica] Alcune applicazioni e risultati fondamentali

In analisi, ognuna delle seguenti proprietà di una funzione f : R → R implica la successiva:

• Una funzione f è monotona;
• f ha limite destro e sinistro in ogni punto del suo dominio;
• f può avere solo discontinuità a salto;
• f può avere solo una quantità numerabile di discontinuità nel suo dominio.

Queste proprietà sono la ragione per la quale le funzioni monotone sono utili nel lavoro tecnico dell'analisi matematica. Due proprietà riguardanti queste funzioni sono:

• se f è una funzione monotona definita su un intervallo I, allora f è differenziabile quasi ovunque su I, cioè l'insieme dei valori x in I per i quali f non è differenziabile in x ha misura nulla.
• se f è una funzione monotona definita su un intervallo [a, b], allora f è integrabile secondo Riemann.

Una importante applicazione delle funzioni monotone la si ha nella teoria della probabilità. Se X è una variabile casuale, la sua funzione di distribuzione cumulativa

F_X(x) = Prob(X ≤ x)

è una funzione monotona crescente.

Una funzione è unimodale se è monotona crescente fino a un certo punto (la moda) e poi è monotona decrescente.

[modifica] Monotonia nella teoria degli ordini

Nella teoria degli ordini non ci si restringe ai numeri reali, ma si ha a che fare con insiemi parzialmente ordinati arbitrari o addirittura con insiemi preordinati. In questi casi le definizioni date sopra di monotonia rimangono valide, anche se i termini "crescente" e "decrescente" vengono evitati, dal momento che perdono il loro significato grafico non appena si ha a che fare con ordinamenti che non sono totali. Inoltre le relazioni strette < e > sono poco usate in molti ordinamenti non totali e quindi non viene introdotta altra terminologia addizionale per esse.

Si dice che una funzione monotona conserva l'ordinamento. Il concetto duale è spesso chiamato antitonia, anti-monotonia o order-reversing. Perciò una funzione antitona f soddisfa alla proprietà seguente:

x ≤ y implica che f(x) ≥ f(y),

per ogni x e y nel suo dominio. È facile vedere che la composizione di due funzioni monotone è a sua volta monotona.

Una funzione costante è sia monotona che antitona; inversamente, se f è sia monotona che antitona, e se il dominio di f è un reticolo, allora f deve essere costante.

Le funzioni monotone sono di primaria importanza nella teoria degli ordini. Alcune funzioni monotone degne di nota sono le immersioni d'ordine (order embedding) (funzioni per le quali x ≤ y sse f(x) ≤ f(y)) e gli isomorfismi d'ordine (immersioni suriettive).

[modifica] Logica monotona

La monotonia dell'implicazione è una proprietà di molti sistemi logici che afferma che le ipotesi di ogni fatto derivato possono essere liberamente estese con assunzioni addizionali. Ogni affermazione che era vera in una logica con questa proprietà, sarà ancora vera dopo l'aggiunta di un qualunque nuovo assioma (consistente). Logiche con questa proprietà possono essere chiamate monotone allo scopo di essere distinute dalle logiche non monotone.