Función monótona

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En matemáticas, una función entre conjuntos ordenados se dice monótona (o isótona) si conserva el orden dado. Las funciones de tal clase surgieron primeramente en cálculo, y fueron luego generalizadas al entorno más abstracto de la teoría del orden. Aunque los conceptos generalmente coinciden, las dos disciplinas han desarrollado una terminología ligeramente diferente; mientras en cálculo se habla de funciones monótonamente crecientes y monótonamente decrecientes (o simplemente crecientes y decrecientes), en la teoría del orden se usan los términos monótona y antítona, o se habla de funciones que conservan e invierten el orden.

[editar] Definición general

Sea

$f:P\to Q$

una función entre dos conjuntos P y Q, donde cada conjunto tiene un orden parcial (los dos se denotarán por ≤). En cálculo se habla de funciones entre subconjuntos de los reales, y el orden ≤ no es otro que el orden usual de la recta real, aunque esto no es esencial para la definición.

La función f es monótona si, siempre que x ≤ y, se tiene f(x) ≤ f(y). En otras palabras, una función monótona es una que conserva el orden.

[editar] Monotonicidad en cálculo y análisis

En cálculo no hay usualmente necesidad de invocar los métodos abstractos de la teoría del orden. Como ya se señaló, las funciones se establecen entre (subconjuntos de) números reales, ordenados de forma natural.

Por la forma de la gráfica de una función monótona en los reales, tales funciones se llaman también monótonamente crecientes (o "no decrecientes", o simplemente "crecientes"). Similarmente, una función se llama monótonamente decreciente (o "no creciente", o "decreciente") si, siempre que x ≤ y, se tiene f(x) ≥ f(y), es decir, si invierte el orden.

Si el orden ≤ en la definición de monotonicidad se reemplaza por el orden estricto <, se obtiene un requisito más fuerte. Una función que lo cumpla se dice estrictamente creciente (o sólo "creciente" cuando no hay ambigüedad con el otro significado). De nuevo, al invertir el símbolo de orden, se obtienen funciones estrictamente decrecientes (o sólo "decrecientes"). Las funciones estrictamente crecientes o decrecientes son inyectivas (pues a < b implica a &neq; b).

Los términos no decreciente y no creciente evitan cualquier posible confusión con estrictamente creciente y estrictamente decreciente, respectivamente.

[editar] Aplicaciones y resultados básicos

En cálculo, cada una de las siguientes propiedades de una función f : R → R implica la siguiente:

f es monótona.
f tiene un límite por la izquierda y por la derecha en cualquier punto de su dominio de definición.
f sólo puede tener discontinuidades de salto.
f sólo puede tener una cantidad enumerable de discontinuidades.

Estas propiedades son la razón por la que las funciones monótonas son útiles en el análisis matemático. Dos importantes hechos que se deducen de que una función sea monótona son:

Si f es una función monótona definida en un intervalo I, entonces f es derivable casi siempre en I, es decir, el conjunto de puntos x en I en donde f no es diferenciable tiene medida de Lebesgue 0.
Si f es una función monótona definida en un intervalo [a, b], entonces f es Riemann-integrable.