Бесконечно делимое распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Бесконе́чно дели́мое распределе́ние в теории вероятностей это распределение случайной величины такой, что она может быть представлена в виде произвольного количества независимых, одинаково распределённых слагаемых.

Содержание

1 Определение
2 Свойства бесконечно делимых распределений
3 Канонические представления бесконечно делимых распределений
- 3.1 Формула Колмогорова
- 3.2 Формула Леви — Хинчина
4 Примеры
5 См. также

[править] Определение

Случайная величина $Y$ называется бесконечно делимой, если для любого $n \in \mathbb{N}$ она может быть представлена в виде

$Y = \sum\limits_{i=1}^n X^{(n)}_i$ ,

где $\left\{X_i^{(n)}\right\}_{i=1}^n$ - независимые, одинаково распределённые случайные величины.

[править] Свойства бесконечно делимых распределений

Характеристическая функция $φ Y (t)$ бесконечно делимой случайной величины $Y$ имеет вид:

$\phi_Y(t) = \phi^n_{X^{(n)}(t)}$ .

[править] Канонические представления бесконечно делимых распределений

[править] Формула Колмогорова

Пусть $φ(t)$ - характеристическая функция бесконечно делимого распределения на $\mathbb{R}$ . Тогда существует неубывающая функция $K:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , такая что $\lim\limits_{u \to -\infty} K(u) = 0$ , и

$\ln \phi(t) = i\delta t + \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{it u} - 1 - i u t}{u^2} \, dK(u)$ ,

где интеграл понимается в смысле Лебега — Стилтьеса.

[править] Формула Леви — Хинчина

Пусть $φ(t)$ - характеристическая функция бесконечно делимого распределения на $\mathbb{R}$ . Тогда существует неубывающая функция ограниченной вариации $G:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , такая что