Устойчивое распределение
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Усто́йчивое распределе́ние в теории вероятностей - это такое распределение, которое может быть получено как предел по распределению сумм независимых случайных величин.
Содержание |
[править] Определение
Распределение cлучайной величины X называется устойчивым, если для любого существуют такие константы , что распределение случайной величины anX + bn совпадает с распределением суммы:
- ,
где равенство понимается в смысле равенства распределений, а случайные величины Yn,i распределены как X, то есть .
[править] Замечания
- Если FX - функция устойчивого распределения, то , такие что
- ,
где * обозначает свёртку.
- Если φX - характеристическая функция устойчивого распределения, то , такие что
- .
[править] Свойства устойчивых распределений
- Случайная величина имеет устойчивое распределение тогда и только тогда, когда она является пределом по распределению линейных комбинаций сумм независимых одинаково распределённых случайных величин. Более точно, случайная величина X может быть пределом по распределению случайных величин вида , где
- - независимые одинаково распределённые случайные величины,
тогда и только тогда, когда распределение X устойчиво.
- (Представление Леви — Хинчина) Логарифм характеристической функции случайной величины с устойчивым распределением имеет вид:
где и