Logaritm

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Logaritmul este o putere la care trebuie ridicat un număr (numit bază) pentru a obţine un număr dat.

Cuprins

1 Definiţia matematică
2 Motivaţia definirii logaritmului ca o integrală
3 Deducerea restricţiilor funcţiei f
4 Definirea logaritmului
5 Graficul funcţiei logaritmice
6 Proprietăţile logaritmului
7 Calculul logaritmului
8 Scurt Istoric
9 Legături externe

[modifică] Definiţia matematică

Fie $\ x>0$ . Logaritmul lui $\ x$ în baza $\ b>0$ , $b\ne 1$ , notat $\ {log}_{b} x$ , este numărul $\ z$ , astfel încât $\ b^z = x$ .

Proprietatea fundamentală:

$\ {log}_{b} (xy) = \log _b x + \log _b y$ , unde $\ x,y >0$ , $\ b>0$ , $b\ne 1$ .

Exemple: $\ {log}_{2} 8 = 3$ ; $\ {log}_{b} 1 = 0$ , $\ {log}_{b} b = 1$ , $\ {log}_{2} {2^{100}} = 100$ .

[modifică] Motivaţia definirii logaritmului ca o integrală

Logaritmul este un exemplu de concept matematic care poate fi definit prin diferite metode. Când se doreşte definirea unui concept se începe de la proprietăţile dorite care să fie înglobate în ea. În urma inspecţiei proprietăţilor se propune o formulă sau un proces care poate servi drept definiţie, în urma căreia toate proprietăţile pot fi deduse.

Una din proprietăţile pe care noi le dorim la logaritm este ca suma logaritmilor a două argumente să fie egală cu logaritmul produsului acestor argumente. Dacă privim logaritmul ca pe o funcţie, atunci putem scrie: $\ f(xy) = f(x) + f(y)$ (1), unde x şi y aparţin unui domeniu. Astfel de formulare se numeşte ecuaţie funcţională.

[modifică] Deducerea restricţiilor funcţiei f

Una dintre soluţiile ecuaţiei poate fi zero pe toată axa numerelor reale. Dacă $\ y=0$ atunci $\ f(x)=0$ , pentru orice x din domeniu, de aici reiese că 0 nu face parte din domeniul de definire a funcţiei. Dacă 1 aparţine domeniului de definire a funcţiei atunci $\ x=y=1$ $\ f(1) = f(1) + f(1) = 2f(1)$ , ceea ce implică $\ f(1) = 0$ .

Dacă ambele 1 şi -1 fac parte din domeniul de definiţie, putem arăta că $\ f(1)=2f(-1)$ punând x=-1 şi y=-1. Acum dacă x, -x,1 şi -1 fac parte din domeniul de definiţie, noi putem pune y=-1 ce implică $\ f(-x)=f(-1)+f(x)$ şi $\ f(-1)=0$ ca rezultat $\ f(-x)=f(x)$ .

Presupunem acum că f are derivata în toate punctele, în afara de zero $x \ne 0$ , vom considera y fixat şi derivăm în comparaţie cu x:
$\ yf'(xy) = f'(x)$
Când x=1, $\ yf'(y) = f'(1)$ sau
$f'(y) = \frac{{f'(1)}} {y};y \ne 0$
Aplicând a doua teorema fundamentală a analizei matematice:
$\ f(x) - f(c) = \int\limits_c^x {f'(t)dt = f'(1)\int\limits_c^x {\frac{1}{t}dt} }$

Deoarece f(1)=0, alegem c=1
$f(x) = f'(1)\int\limits_1^x {\frac{1}{t}dt}$ dacă x>0

Dacă x este negativ atunci -x este pozitiv şi luând în consideraţie că f(x)=f(-x) primim:
$f(x) = f'(1)\int\limits_1^{ - x} {\frac{1}{t}dt}$ dacă x<0

Aceste două formule pot fi combinate în una singură pentru orice $x$ pozitiv sau negativ:
$f(x) = f'(1)\int\limits_1^{|x|} {\frac{1}{t}dt}$ , dacă $x \ne 0$
sau
$g(x) = \int\limits_1^{|x|} {\frac{1}{t}dt}$ , dacă $x \ne 0$ (2) unde $g(x) =\frac{{f(x)}}{{f'(1)}}$ .

Mai sus s-a arătat că dacă există o soluţie a ecuaţiei funcţionale (1), care are derivată în orice punct $\ x \ne 0$ aceasta este (2).

[modifică] Definirea logaritmului

Definiţie – Fie x un număr pozitiv real, logaritmul natural a lui x , notat temporal L(x) este integrala:
$L(x) = \int\limits_1^x {\frac{1}{t}dt}$

Teoremă – funcţia logaritm are următoarele proprietăţi:
(a) $\ L(1)=0$
(b) $L'(x) = \frac{1}{x}$ pentru orice $\ x>0$
(c) $\ L(ab)=L(a)+L(b)$ pentru orice $\ a>0$ , $\ b>0$

Demonstraţie:- Proprietăţile (a) şi (b) sunt consecinţe a definiţiei. Proprietatea (c) se bazează pe caracteristica aditivă a integralei:
$L(ab) = \int\limits_1^{ab} {\frac{{dt}} {t}} = \int\limits_1^a {\frac{{dt}} {t}} + \int\limits_a^{ab} {\frac{{dt}} {t}} = L(a) + \int\limits_a^{ab} {\frac{{dt}} {t}}$
În ultima integrală facem următoarea substituţie $u = \frac{t}{a},du = \frac{{dt}}{a}$ care reduce integrala la $\ L(b)$ .

Teoremă – Pentru orice număr real b, există şi este unic, un număr real pozitiv care satisface egalitatea $\ L(a)=b$ . Demonstraţie:

[modifică] Graficul funcţiei logaritmice

[modifică] Proprietăţile logaritmului

Pentru $\ a,b>0$ , $\ c>0$ , $\ c\ne 1$ avem:

Operaţii cu numere	Operaţii cu exponenţi	Proprietăţile logaritmului
$\!\, a b$	$\!\, A + B$	$\!\, \log_c (a b) = \log_c (a) + \log_c (b)$
$\!\, a / b$	$\!\, A - B$	$\!\, \log_c (a / b) = \log_c (a) - \log_c (b)$
$\!\, a ^ b$	$\!\, A b$	$\!\, \log_c (a ^ b) = b \log_c (a)$
$\!\, \sqrt[b]{a}$	$\!\, A / b$	$\!\, \log_c (\sqrt[b]{a}) = \frac{\log_c (a)}{b}$