Logaritmus

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Logaritmus je matematická funkce, která je inverzní k Exponenciální funkce. Logaritmus kladného reálného čísla x při základu a (a ∈ R⁺) je takové reálné číslo

y = log_a x,

pro které platí

a^y = x.

V tomto vztahu se číslo a označuje jako základ logaritmu (báze), logaritmované číslo x se někdy označuje jako numerus, y je pak logaritmem čísla x při základu a.

Obsah

1 Vlastnosti logaritmů
2 Využití
- 2.1 Výpočty
- 2.2 Mimo matematiku
3 Speciální báze
4 Externí odkazy

[editovat] Vlastnosti logaritmů

$a^{\log_a x} = \log_a{a^x} = x$ (Logaritmus je inverzní funkcí k mocninné funkci o stejném základu.)
$log b (a c) = log b a + log b c$ (Logaritmus součinu je součet logaritmů jednotlivých činitelů.)
$\log_b \frac{a}{c} = \log_b a - \log_b c$ (Logaritmus podílu je rozdíl logaritmů čitatele a jmenovatele.)
$log b a r = r log b a$ (tzn. $log_b \sqrt[n]{a} = \frac{1}{n}\log_b a$ ; logaritmus mocniny je roven exponent krát logaritmus základu)
$log b b = 1$
$log b 1 = 0$
$\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} = {\log_a b}\;{\log_b x}$

[editovat] Využití

[editovat] Výpočty

Pomocí výše uvedených rovností lze složitější operace převádět na jednodušší, což se zvláště před rozšířením elektronických kalkulaček a počítačů využívalo při složitějších výpočtech prováděných ručně. K tomu účelu se používaly tabulky předvypočítaných hodnot logaritmů, případně logaritmické pravítko, mechanická pomůcka pro výpočty pomocí logaritmů.

Příkladem využití logaritmů je výpočet 17300 · √15478 pomocí tabulek logaritmů:

Nejprve se celá rovnice zlogaritmuje: $\log x = \log (17300 \cdot \sqrt 15478)$
Pomocí rovností o logaritmech se rovnice rozloží na jednodušší části: $\log x = \log 17300 + \frac{1}{2} \log 15478$
V tabulkách se vyhledají příslušné logaritmy (tabulky ovšem obsahují hodnoty jen na několik platných číslic):
- log 17300 ≅ 4,238
- log 15478 ≅ log 15480 ≅ 4,1898
Vypočte se výsledek logaritmovaného výrazu: log x = 4,238 + 2,0949 = 6,3329
Rovnice se zpětně umocní podle daného základu, výsledek se v tabulce dohledá zpětně: 10^6,3329 ≅ 2152000.
Nalezený výsledek: 17300 * √15478 ≅ 2152000 (přesnější výsledek spočtený na dnešní kalkulačce je 2152303.56, t.j. odchylka 0.014 %).

[editovat] Mimo matematiku

Logaritmy se objevují také v mnoha vědeckých oborech pro vyjádření závislosti na exponentu. Příkladem je jednotka decibel, vyjadřování hvězdné velikosti či v chemii vyjadřování kyselosti látek pomocí pH.

[editovat] Speciální báze

Desítkový logaritmus

U logaritmu o základu 10 (nazývaného desítkový či dekadický logaritmus, příp. Briggsův podle Henryho Briggse) se ve značení vynechává základ a píše se jen prostě log x, někdy se používá také speciální značení lg x.

Přirozený logaritmus

Logaritmus o základu e se označuje jako přirozený logaritmus (někdy také Napierův podle Johna Napiera) a značí se ln x (logaritmus naturalis, latinsky přirozený logaritmus).