Número algébrico
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Em matemática, um número algébrico é qualquer número real ou complexo que é solução de alguma equação polinomial com coeficientes inteiros.
Todos os números racionais são algébricos porque qualquer fracção do tipo a / b é solução de bx − a = 0. Alguns números irracionais como √2 e 31 / 3 / 2 são também algébricos, porque são as soluções de x2 − 2 = 0 e 8x3 − 3 = 0, respecivamente. Mas nem todos os reais são algébricos – como exemplo refiram-se π e e. A um número complexo não algébrico dá-se o nome de número transcendente.
Se um número algébrico for solução de uma equação de grau n com coeficientes inteiros e de nenhuma de grau inferior, diz-se que é um número algébrico de grau n.
[editar] O corpo dos números algébricos
A soma, subtração, produto e quociente de dois números algébricos é novamente um número algébrico, logo eles formam um corpo. Pode-se mostrar que as soluções de equações polinomiais com coeficientes algébricos são novamente números algébricos. Posto de outro modo, o corpo dos números algébricos é algebricamente fechado De facto, é o menor corpo algebricamente fechado que contém os racionais, pelo que é a aderência algébrica do corpo dos números racionais.
[editar] Números definidos por radicais
Todos os números que possam ser escritos usando uma forma finita de adições, subtrações, multiplicações, divisões, e raizes de grau n (n inteiro positivo) são algébricos. O contrário, no entanto, não é verdadeiro, pois há expressões algébricas que não podem ser representadas dessa maneira. Todos esses números podem ser vistos como soluções para equações polinomiais de grau ≥ 5. Isto é o que diz a Teoria de Galois.
[editar] Inteiros algébricos
Um número algébrico que é raiz de uma equação polinomial de grau n onde o coeficiente do termo de grau n é igual a 1 diz-se um inteiro algébrico. Por exemplo, 3√2 + 5 e 6i − 2 são inteiros algébricos.
A soma, a diferença e o produto de inteiros algébricos é novamente um inteiro algébrico; por outras palavras, os inteiros algébricos formam um anel. O nome «inteiro algébrico» tem origem no facto de os únicos números racionais que são inteiros algébricos serem os números inteiros.
