Corpo algebricamente fechado
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Em Matemática, um corpo F diz-se algebricamente fechado se qualquer polinómio de uma variável e grau maior ou igual a 1, com coeficientes em F, tiver alguma raiz em F.
Por exemplo, o corpo dos números reais não é algebricamente fechado, pois a equação polinomial
- 3x2 + 1 = 0
não tem soluções reais, apesar de os seus coeficientes (3 e 1) serem reais. O mesmo argumento mostra que o corpo dos números racionais não é algebricamente fechado. Nenhum corpo finito F é algebricamente fechado, pois se a1, a2, …, an forem os elementos de F, o polinómio
- (x − a1)(x − a2) ··· (x − an) + 1
não tem nenhuma raiz em F. Em contrapartida, o corpo dos números complexos é algebricamente fechado; é isto que afirma o teorema fundamental da álgebra. Outro exemplo de corpo algebricamente fechado é o corpo dos números algébricos.
Dado um corpo F, a afirmação «F é algebricamente fechado» é equivalente a cada uma das seguintes:
- Qualquer polinómio p(x) de grau n ≥ 1, com coeficients em F,é produto de polinómios de primeiro grau. Posto de outro modo, há elementos k, x1, x2, …, xn de F tais que
-
- p(x) = k(x − x1)(x − x2) ··· (x − xn).
- O corpo F não tem nenhuma extensão algébrica própria.
- Para cada número natural n, qualquer aplicação linear de Fn em si próprio tem algum vector próprio.
- Qualquer função racional de uma variável x, com coeficientes em F pode ser escrita como soma de uma função polinomial com funções racionais da forma a / (x + b)n, sendo n um número natural e a e b pertencem a F.
Se F for um corpo algebricamente fechado, se a for um elemento de F e se n for um número natural, então a tem alguma raiz de ordem n em F, pois isto é o mesmo que afirmar que a equação xn − a = 0 tem alguma raiz em F. No entanto, há corpos nos quais qualquer elemento tem alguma raiz de ordem n (para cada número natural n) mas que não são algebricamente fechados. De facto, nem mesmo supor que qualquer polinómio do tipo xn − a se pode escrever como produto de polinómios de primeiro grau é suficiente para garantir que o corpo é algebricamente fechado.
Como conseqüência do axioma da escolha, qualquer corpo F tem um fecho algébrico, que é o menor corpo algebricamente fechado do qual F é um subcorpo.
[editar] Bibliografia
- S. Lang, Algebra, Springer-Verlag, 2004, ISBN 0-387-95385-X
- B. L. van der Waerden, Algebra I, Springer-Verlag, 1991, ISBN 0-387-97424-5
