Алгебраическое число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Алгебраи́ческое число́ над полем  — элемент алгебраического замыкания поля , то есть корень многочлена с коэффициентами из .

Если поле не указывается, то предполагается поле рациональных чисел, то есть , в этом случае поле алгебраических чисел обычно обозначается . Поле является подполем поля комплексных чисел.

Эта статья посвящена именно этим «рациональным алгебраическим числам».

[править] Связанные определения

• Вещественное число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным.
• Целыми алгебраическими числами называются корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом единица.
• Если  — алгебраическое число, то среди всех многочленов с рациональными коэффициентами, имеющих своим корнем, существует единственный многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным 1. Такой многочлен автоматически является неприводимым, он называется каноническим, или минимальным, многочленом алгебраического числа .
  • Степень канонического многочлена называется степенью алгебраического числа .
  • Другие корни канонического многочлена называются сопряжёнными к .
  • Высотой алгебраического числа называется наибольшая из абсолютных величин коэффициентов в неприводимом и примитивном многочлене с целыми коэффициентами, имеющем своим корнем.

[править] Примеры

• Рациональные числа, и только они, являются алгебраическими числами 1-й степени.
• Мнимая единица так же как являются алгебраическими числами 2-й степени. Сопряжёнными к этим числам являются соответственно и .
• При любом натуральном , является алгебраическим числом -й степени.

[править] Свойства

• Множество алгебраических чисел счётно.
• Множество алгебраических чисел плотно в комплексной плоскости.
• Сумма, разность, произведение и частное двух алгебраических чисел (кроме деления на нуль) суть алгебраические числа, то есть множество всех алгебраических чисел образует поле.
• Корень многочлена с алгебраическими коэффициентами есть алгебраическое число, то есть поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто.
• Для всякого алгебраического числа существует такое натуральное , что  — целое алгебраическое число.
• Алгебраическое число степени имеет различных сопряжённых чисел (включая себя).
• и сопряжены тогда и только тогда, когда существует автоморфизм поля , переводящий в .

[править] История

Впервые алгебраические поля стал рассматривать Гаусс. При обосновании теории биквадратичных вычетов он развил арифметику целых гауссовых чисел, то есть чисел вида , где и  — целые числа. Далее, изучая теорию кубических вычетов, Якоби и Эйзенштейн (F. Eisenstein) создали арифметику чисел вида , где  — кубический корень из единицы, а и  — целые числа. Попытки доказать великую теорему Ферма привели Э. Куммера (Е. Kummer) к изучению полей деления круга, введению понятия идеала и созданию элементов теории алгебраических чисел. В работах Дирихле, Кронекера, Гильберта и других теория алгебраических чисел получила свое дальнейшее развитие. Большой вклад в неё внесли русские математики Е. И. Золотарев (теория идеалов), Г. Ф. Вороной (кубические иррациональности, единицы кубических полей), А. А. Марков (кубическое поле), Ю. В. Сохоцкий (теория идеалов) и другие.

[править] Ссылки

• Фельдман, Н. Алгебраические и трансцендентные числа // Квант, № 7, 1983.