Filtro Chebyshev

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A resposta em frequência de um filtro Chebyshev passa-baixas do tipo I de quarta ordem

Os filtros Chebyshev são filtros analógicos ou digitais que possuem um aumento na atenuação (roll-off) mais íngreme e uma maior ondulação (ripple) na banda passante que os Filtros Butterworth. Os filtros Chebyshev possuem a propriedade de minimizarem o erro entre as características do filtro idealizado e o atual com relação à faixa do filtro, porém com ripples na banda passante. Este tipo de filtro recebeu seu nome em honra a Pafnuty Chebyshev, devido a suas características matemáticas serem derivadas dos polinomiais de Chebyshev.

Índice

1 Descrição
- 1.1 Filtros Chebyshev do Tipo I
- 1.2 Filtros Chebyshev do Tipo II
2 Compararação com outros filtros lineares
3 Ver também

[editar] Descrição

[editar] Filtros Chebyshev do Tipo I

Estes são o tipo mais comum dos filtros Chebyshev. A sua caracteristica da amplitude em frequência de ordem $n$ pode ser descrita matematicamente como:

$G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2 T_n^2\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)}}$

aonde $| ε | < 1$ e $|H(\omega_0)| = \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2}}$ é a amplificação na frequência de corte $ω 0$ (nota: a definição comum na frequência de corte como a frequência com um ganho de −3 dB não se aplica aos filtros Chebyshev), e $T_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)$ é um polinomial de Chebyshev da $n$ ésima ordem, como por exemplo:

$T_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right) = \cos\left(n\cdot\arccos\frac{\omega}{\omega_0}\right) ; 0 \le \omega \le \omega_0$

$T_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right) = \cosh\left(n\cdot \operatorname{arccosh}\frac{\omega}{\omega_0}\right) ; \omega > \omega_0$

alternativamente:

$T_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right) = a_0 + a_1\frac{\omega}{\omega_0} + a_2\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 +\, \cdots\, + a_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^n; 0 \le \omega \le \omega_0$

$T_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right) = \frac{ \left(\frac{\omega}{\omega_0}\sqrt{\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 - 1}\right)^n + \left(\frac{\omega}{\omega_0}\sqrt{\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 - 1}\right)^{-n} }{2} ; \omega > \omega_0$

A ordem de um filtro Chebyshev é igual ao número de componentes reativos (como os indutores) necessários para a montagem do filtro utilizando eletrônica analógica.

O ripple é comumente dado em dB:

Ripple em dB = $20 \log_{10} \sqrt{1+\epsilon^2}$

Um ripple de 3 dB dessa forma equivale ao valor $ε = 1$ .

Um roll-off ainda mais íngreme pode ser obtido cosso nos permitamos ripple na banda passante, permitindo que o zeros no eixo $j ω$ no plano complexo. Isto ira entretanto resulta em uma menor supressão na banda atenuada. O resultado deste processo é o filtro elíptico, também conhecido como filtro Cauer.

[editar] Filtros Chebyshev do Tipo II

Também conhecidos como Chebyshev invertidos, este tipo é menos comum pois ele não apresenta um roll off tão acentuado quanto o tipo I, e requer uma maior quantidade de componentes. Ele não possui ripple em sua banda passante, porêm possui ripple na sua banda atenuada. Sua função de transferência é:

$\left | H( \Omega ) \right | ^2 = \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1} {\epsilon^2 T_n ^2 \left ( \omega_0 / \omega \right )}}}$

O parâmetros ε é relacionado à atenuação da banda rejeitada γ em decibeis por

$\epsilon = \frac{1}{\sqrt{10^{0.1\gamma}-1}}$

Para uma atenuação de banda rejeitada de 5dB, ε = 0.6801; para uma atenuação de 10dB, ε = 0.3333. A frequência f_C = ω_C/2 π é a frequência de corte. A frequência de 3dB f_H é relacionada a f_C da seguinte forma:

$f_H = f_C \cosh \left(\frac{1}{n} \cosh^{-1}\frac{1}{\epsilon}\right)$

[editar] Compararação com outros filtros lineares

Aqui temos uma imagem mostrando a resposta em frequência de filtros Chebyshev junto com a resposta de outros tipos comum de filtro obtidos com os mesmos números de coeficientes:

notamos nesta imagem que os filtros Chebyshev possuem uma queda mais acentuada do que o filtro Butterworth, porém menos acentuada do que o filtro elíptico, porém eles apresentam menos ondulações em sua largura de banda.