切比雪夫滤波器

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四阶第一类切比雪夫低通滤波器的频率响应图

切比雪夫滤波器（又译车比雪夫滤波器）是在通带或阻带上频率响应幅度等波纹波动的滤波器。在通带波动的为“I型切比雪夫滤波器”，在阻带波动的为“II型切比雪夫滤波器”。切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快，但频率响应的幅频特性不如后者平坦。切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的误差最小，但是在通频带内存在幅度波动。

这种滤波器来自切比雪夫多项式，因此得名，用以记念俄罗斯数学家巴夫尼提·列波维其·切比雪夫（Пафнутий Львович Чебышёв）。

[编辑] 特性

[编辑] I型切比雪夫滤波器

I型切比雪夫滤波器最为常见。

n阶第一类切比雪夫滤波器的幅度与频率的关系可用下列公式表示：

$G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2 T_n^2\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)}}$

其中：

$| ε | < 1$
而 $|H(\omega_0)| = \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2}}$ 是滤波器在截止频率 $ω 0$ 的放大率 (注意: 常用的以幅度下降3分贝的频率点作为截止频率的定义不适用于切比雪夫滤波器!)
$T_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)$ 是 $n$ 阶切比雪夫多项式：

$T_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right) = \cos\left(n\cdot\arccos\frac{\omega}{\omega_0}\right) ; 0 \le \omega \le \omega_0$

$T_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right) = \cosh\left(n\cdot \operatorname{arccosh}\frac{\omega}{\omega_0}\right) ; \omega > \omega_0$

或:

$T_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right) = a_0 + a_1\frac{\omega}{\omega_0} + a_2\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 +\, \cdots\, + a_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^n; 0 \le \omega \le \omega_0$

$T_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right) = \frac{ \left(\frac{\omega}{\omega_0}\sqrt{\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 - 1}\right)^n + \left(\frac{\omega}{\omega_0}\sqrt{\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 - 1}\right)^{-n} }{2} ; \omega > \omega_0$