Série entière

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En mathématiques et particulièrement en analyse fonctionnelle, une série entière est une série de la forme

$\sum_{n \geq 0} a_n(x-c)^n$

où a_n est le terme d'indice n d'une suite réelle ou complexe et c une constante réelle ou complexe. Elle est dite entière par opposition au développement limité.

Une telle série converge généralement en tant que série de Taylor vers une fonction connue. Lorsque la valeur de c est nulle, on appelle aussi ces séries, des séries de Maclaurin.

Les séries entières apparaissent en analyse, mais aussi en combinatoire en tant que fonction génératrice et se généralisent dans la notion de série formelle. Dans la théorie des nombres, le concept de nombre p-adique est proche de celui de série entière.

Sommaire

1 Définitions
- 1.1 Série entière
- 1.2 Rayon de convergence
2 Fonction développable en série entière
3 Exemples et méthodes
4 Développements usuels en séries entières
5 Rubriques connexes

[modifier] Définitions

$z$ (resp. $x$ ) et $c$ seront dans cet article des nombres complexes (resp. nombre réel) .

[modifier] Série entière

Une série entière de variable $z$ , est une série de terme général $a_n\,(z-c)^n$ , où n est un entier naturel, c un complexe, et ${(a_n)}_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite de nombres réels ou complexes. L'usage veut que l'on adopte la notation suivante pour parler d'une série entière : $\sum_{n \geq 0} a_n(z-c)^n$ , tandis que l'on écrira $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-c)^n$ pour son éventuelle somme, en cas de convergence, pour un z donné.

[modifier] Rayon de convergence

Pour que la série converge, il est nécessaire que son terme général $a_n\,(z-c)^n$ tende vers zéro (à l'infini). Cela dépend de $z$ et de la suite $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ .

Le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum_{n \geq 0} a_n(z-c)^n$ est tel que $\forall z\in\mathbb{C}$ avec $| z - c | < R$ la série converge absolument, et que $\forall z\in\mathbb{C}$ avec $| z - c | > R$ la série diverge (le cas $| z - c | = R$ est appelé « cas douteux », on ne peut donner de résultat général). $R$ est un réel (fini) positif ou nul, ou égal à $+{\infty}$ auquel cas la série converge pour tout $z\in\mathbb{C}.$

Dans le cas où la variable $z$ est complexe, la série converge pour $z\in D(c,R)$ , disque ouvert de centre $c$ et de rayon R, c'est-à-dire l'ensemble des complexes $\{z\in\mathbb{C}\,/\,|z-c|<R\}$ .
Dans le cas où la variable $x$ est réelle, on parle encore de disque ouvert de convergence, bien que ce soit un intervalle de la droite réelle ( $] c - R; c + R [$ ).

Ces affirmations s'appuient sur le lemme d'Abel.

Lemme d'Abel

Soient deux réels $r_0,\, r$ tels que $\ 0 < r < r_0$ . Si la suite de terme général $|a_n|\, r_0^n$ est bornée, c'est-à-dire s'il existe un réel positif ou nul $\ M$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N},\, |a_n|\, r_0^n \leq M$ , alors la série $\sum_{n \geq 0} a_n\, x^n$ converge normalement pour $|x| \leq r$ (a fortiori, elle converge absolument en tout point $\ x$ tel que $\ |x| < r_0$ ).

Démonstration

Si $|x| \leq r$ , alors pour tout $n \in \mathbb{N},\, |a_n\, x^n| = |a_n|\, r_0^n \left(\frac{|x|}{r_0}\right)^n$ , donc $|a_n\, x^n| \leq M\, \left(\frac{r}{r_0}\right)^n$ . La série géométrique de terme général $M\, \left(\frac{r}{r_0}\right)^n$ est convergente car le réel positif $\frac{r}{r_0}$ est strictement inférieur à 1 ; et ce terme général ne dépend pas de $\ x$ : d'où la convergence normale d'après l'inégalité ci-dessus.

Calcul du rayon de convergence

Si $\lim_{n \to +\infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| = \ell \,$ avec $\ell \in\, [0,+\infty] = \overline{\R^+}$

alors le rayon de convergence de la série $\sum_{n \geq 0} a_n(x-a)^n$ est égal à $\ell \,$ (conséquence du critère de d'Alembert).
Par exemple, la série entière $\sum_{n \geq 0} 2^n\,z^n$ admet un rayon de convergence égal à $\;{1\over 2}$ . En posant $Z=2\,z$ , le fait que $\sum_{n \geq 0} Z^n$ converge sur $D (0,1)$ entraîne que $\sum_{n \geq 0} 2^n\,z^n$ converge sur $D\left(0,{1\over2}\right)$ .

Si $a_n\sim_{n\to\infty} K\,b_n$ , avec $K\in\mathbb{C}^*$ , alors $\sum_{n \geq 0} a_n(z-c)^n$ et $\sum_{n \geq 0} b_n(z-c)^n$ ont même rayon de convergence.
$\forall p\in\mathbb{Z}, \;\sum_{n \geq 0} n^p\,a_n(z-c)^n$ et $\sum_{n \geq 0} a_n(z-c)^n$ ont même rayon de convergence (« invariance par multiplication ou division du terme général par n »).
$\forall p\in\mathbb{N}, \;\sum_{n \geq 0} a_{n+p}\, (z-c)^{n}$ et $\sum_{n \geq 0} a_n(z-c)^n$ ont même rayon de convergence (« invariance par translation du terme général »).
$\sum_{n \geq 0} a_{n+1}\,(n+1)\,(z-c)^{n}$ et $\sum_{n \geq 0} a_n(z-c)^n$ ont même rayon de convergence (« invariance par dérivation du terme général par rapport à z », conséquence des deux points précédents).

[modifier] Fonction développable en série entière

Définition

Si ${(a_n)}_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite complexe et $c$ un complexe tels que la série entière $\sum_{n \geq 0} a_n(z-c)^n$ converge sur $D (c, R)$ , avec $R > 0$ , alors la fonction $f\,:\;D(c, R)\to\mathbb{C},\;z\mapsto \sum_{n=0}^{+{\infty}}a_n(z-c)^n$ est appelée fonction somme.

Inversement, avec la donnée d'une application $f$ de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$ , s'il existe une suite ${(a_n)}_{n\in\mathbb{N}}$ et un $c\in\mathbb{C}$ tels que la série entière $\sum_{n \geq 0} a_n(z-c)^n$ converge sur $D (c, R)$ et que $\forall z\in D(c, R),\,f(z)=\sum_{n=0}^{+{\infty}}a_n(z-c)^n$ , alors cette fonction $f$ est dite développable en série entière sur $D (c, R)$ , auquel cas son développement en série entière est donné par la série $\sum_{n \geq 0} a_n(z-c)^n$ .

Propriétés

Théorème de dérivation terme à terme: Si la série $\sum_{n \geq 0} a_n(x-c)^n$ a un rayon de convergence non nul $R$ , alors la fonction somme associée $f\,:\;]c-R,c+R[\,\to\R,\;x\mapsto \sum_{n=0}^{+{\infty}}a_n(x-c)^n$ est dérivable, auquel cas la série $\sum_{n \geq 1} n\,a_n(x-c)^{n-1}$ a aussi pour rayon de convergence $R$ , et $\forall x\in ]c-R,c+R[,\; f'(x)=\sum_{n=1}^{+{\infty}}n\,a_n(x-c)^{n-1}$ .
Corollaire : Si la série $\sum_{n \geq 0} a_n(x-c)^n$ a un rayon de convergence $R > 0$ , alors la fonction somme associée est de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ , et sa dérivée p-ième est la somme de la série ayant pour terme général la dérivée p-ième du terme général $a n (x - c) n$ .

Toute fonction développable en série entière est nécessairement de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ ; mais la réciproque est fausse : il ne suffit pas qu'une fonction soit $\mathrm{C}^{\infty}$ pour qu'elle soit développable en série entière.

Contre-exemple : $\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}, \;x\longmapsto\left\{\begin{matrix} 0, & \mbox{si }x \le 0 \\ e^{-1/x^2}, & \mbox{si }x > 0 \end{matrix}\right.$
(explications après le point suivant).
De manière générale, si $f$ est une fonction complexe développable en série entière sur $D(c,R)\sub\mathbb{C},\,R>0$ , alors $\forall z\in D(c,R),\;f(z)=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{f^{(n)}(c)\over{n!}}(z-c)^n$ , ce qui découle de la formule de Taylor-Mac Laurin. Cela donne un moyen (parfois fastidieux) de calculer tous les $a n$ : par unicité, $\forall n\in\mathbb{N},\,a_n={f^{(n)}(c)\over{n!}}$ (on rappelle que $f (n)$ est la dérivée n-ième de $f$ et que $f$ est nécessairement de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ ). D'autre part, il se peut très bien que la série $\sum_{n \geq 0} {f^{(n)}(c)\over{n!}}(z-c)^n$ converge pour une certaine valeur de $z\ne c$ , mais ait pour somme autre chose que $f (z)$ . On peut alors affimer que $f$ n'est développable que pour un rayon de convergence R tel que $R < | z |$ (cf. le même contre-exemple).

A propos du contre-exemple : on peut montrer que cette fonction est de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ sur $\R$ et que toutes ses dérivées successives en 0 sont nulles. Pour cette raison, elle n'est pas développable en série entière au voisinage de 0 ; en effet, sa série de Taylor en 0 (dont tous les coefficients sont nuls) a un rayon de convergence infini, et sa somme est nulle en tout point. Comme $\forall x > 0, f(x) \neq 0$ , il n'existe aucun voisinage ouvert de 0 sur lequel $f$ coïncide avec la somme de sa série de Taylor.

Cette fonction est l'exemple classique d'une fonction d'une variable réelle, de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ , et qui n'est pas analytique.

[modifier] Exemples et méthodes

La plus célèbre des séries entières : $\sum \frac{z^n}{n!},\,n\in\mathbb{N}$ . Son rayon de convergence est $+{\infty}$ . Elle converge donc sur $\mathbb{C}$ . Elle définit la fonction exponentielle complexe. C'est à partir d'elle que sont analytiquement définies les fonctions sinus et cosinus.
$\sum {n!\,z^n},\,n\in\mathbb{N}$ a un rayon de convergence nul. Elle ne converge que pour $z = 0$ .
$\sum {z^n},\,n\in\mathbb{N}$ a un rayon de convergence égal à 1. Elle converge sur le disque ouvert $D (0,1)$ et a pour somme la fonction $\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ , $z \mapsto \frac{1}{1-z}$ .
Pour les séries entières dont la suite sous-jacente des coefficients est simple (polynôme en n), on trouve la fonction somme sur le disque de convergence par la résolution d'équations différentielles vérifiées par les séries entières (en appliquant le théorème de dérivation terme à terme). Parfois, une simple décomposition en somme de séries convergentes suffit. Ainsi, $\sum {n\,z^n},\,n\in\mathbb{N}$ converge sur $D (0,1)$ (voir règles de calcul du rayon de convergence) et peut être décomposée en la somme de deux séries (qui convergent bien-sûr toutes les deux !) : $\sum_{n=1}^{+{\infty}}{n\,z^n}$ = $\sum_{n=1}^{+{\infty}}{(n+1)\,z^n} - \sum_{n=1}^{+{\infty}}{z^n}$ , où l'on connaît la somme de la deuxième, et où la première est la dérivée de celle-ci multipliée par z (puisque l'indexation est décalée). On trouve $\sum_{n=1}^{+{\infty}}{n\,z^n}=\frac{z}{(1-z)^2}$ . On montre aussi par exemple que $\sum_{n=1}^{+{\infty}}{n^2\,z^n}=\frac{z\,(1+z)}{(1-z)^3}$ ...
$\sum {\frac{z^n}{n}},\,n\in\mathbb{N}$ a un rayon de convergence égal à 1 (voir règles de calcul du rayon de convergence). Sa somme est simplement une primitive qui s'annule en $z = 0$ de la fonction somme $z \mapsto \frac{1}{1-z}$ , puisque la dérivation terme à terme de la série enière $\sum {\frac{z^n}{n}},\,n\in\mathbb{N^*}$ donne bien $\sum {z^n},\,n\in\mathbb{N}$ . On trouve, dans ces conditions, $\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{z^n}{n}}=-\ln (1-z)$ , où $z \mapsto \ln(z)$ est la fonction logarithme complexe : $\ln z=\ln |z|+i\,Arg(z)$ .

[modifier] Développements usuels en séries entières

Ces développements usuels sont souvent très utiles dans le calcul d'intégrales. Ils sont donnés ici avec indication du rayon de convergence dans le champ complexe ou réel.

$\forall z\in\mathbb{C},\, e^z=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{z^n}{n!}}.$
$\forall x\in\mathbb{R},\, \cos x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}(-1)^n\,{\frac{x^{2\,n}}{(2\,n)!}}.$
$\forall x\in\mathbb{R},\, \sin x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}(-1)^n\,{\frac{x^{2\,n+1}}{(2\,n+1)!}}.$
$\forall x\in\mathbb{R},\, \operatorname{ch}\,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{x^{2\,n}}{(2\,n)!}}.$
$\forall x\in\mathbb{R},\, \operatorname{sh}\,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{x^{2\,n+1}}{(2\,n+1)!}}.$
$\forall z\in D(0,1),\, {1\over{1-z}}=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{z^n}.$
$\forall x\in]-1,1],\, \ln (1+x)=\sum_{n=1}^{+{\infty}}(-1)^{n+1}{x^{n}\over{n}}.$
$\forall x\in[-1,1],\, \operatorname{Arctan} \,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}(-1)^n\,{\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}\;$ , et en particulier, $\pi=4\,\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{(-1)^{n}}{2\,n+1}}$ .
$\forall x\in\,]-1,1[,\ \forall \alpha\,\not\in\, \mathbb{N},\, (1+x)^\alpha \,=1\;+\;\sum_{n=1}^{+{\infty}}{\frac{\alpha\,(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{n!}\,x^n}.$
$\forall x\in\mathbb{R},\, \forall \alpha\,\in\, \mathbb{N},\, (1+x)^\alpha \,=1\;+\;\sum_{n=1}^{+{\infty}}{\frac{\alpha\,(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{n!}\,x^n}=\sum_{n=0}^{\alpha}{{\alpha \choose n}\, x^n}.$
$\forall x\in]-1,1[,\, \operatorname{Argth} \,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}\,{\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}.$
$\forall x\in]-1,1[,\, \operatorname{Arcsin} \,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}\,a_n\,{\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}} \quad avec\; a_n=\left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{si }n\mbox{ est nul} \\ \left({\frac{\prod_{k=1}^{n}\,(2\,k-1)}{\prod_{k=1}^{n}\,2\,k}}\right), & \mbox{sinon} \end{matrix}\right.$
$\forall x\in]-1,1[,\, \operatorname{Argsh} \,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}\,(-1)^n\,a_n\,{\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}} \quad \mathrm{avec}\; a_n=\left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{si }n\mbox{ est nul} \\ \left({\frac{\prod_{k=1}^{n}\,(2\,k-1)}{\prod_{k=1}^{n}\,2\,k}}\right), & \mbox{sinon} \end{matrix}\right.$
Remarque : on peut aussi écrire $a_n={{{2\,n}\choose n}\over{4^n}}={{(2\,n)!}\over{(n!\,2^n)^2}}={1.3\ldots (2\,n-1)\over{2.4\ldots(2\,n)}}$
$\forall x\in\, \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[,\, \tan x= \frac{2}{\pi}\, \sum_{n=0}^{+{\infty}}\,{\left({\frac{x}{\pi}}\right)}^{2\,n+1}(2^{2\,n+2}-1)\;\zeta (2\,n+2)\quad avec\; \forall p>1,\,\zeta(p)=\sum_{n=1}^{+{\infty}}\,\frac{1}{n^p}$ (fonction Zêta de Riemann, dont on connaît, pour tout p entier pair - non nul - une expression explicite sous forme du produit d'un rationnel par une puissance paire de π).

[modifier] Rubriques connexes

Toute fonction développable en série entière est une fonction de classe $\mathrm{C}^{\infty}$ .
Une fonction analytique est une fonction développable en série entière au voisinage de tout point.
- Les notions de fonction analytique complexe et de fonction holomorphe coïncident.
- Ces notions nécessitent quelques connaissances en topologie, concernant les ouverts.
Voir également les développements eulériens