Zbiór zwarty
Z Wikipedii
Zbiór zwarty – w przestrzeni topologicznej X to taki zbiór K, że z dowolnego jego pokrycia zbiorami otwartymi przestrzeni X można wybrać podpokrycie skończone.
Spis treści |
[edytuj] Własności
- Każdy zbiór zwarty Y przestrzeni X można rozpatrywać jako osobną przestrzeń zwartą z topologią indukowaną z X
- Każdy domknięty podzbiór przestrzeni zwartej jest zwarty.
- Podzbiór przestrzeni Hausdorffa będący ciągłym przekształceniem zbioru zwartego jest zwarty.
[edytuj] Przestrzenie euklidesowe
Twierdzenie Heine-Borela stwierdza, że w przestrzeniach euklidesowych, w szczególności 
, zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest on zbiorem domkniętym i ograniczonym.
[edytuj] Przykłady
- Odcinek [0,1] będący przedziałem domkniętym jest zwarty, jednak odcinek (0,1) będący już przedziałem otwartym zwarty nie jest.
- Rodzina zbiorów
-
- jest pokryciem odcinka (0,1) zbiorami otwartymi w
(każdy punkt odcinka należy do któregoś ze zbiorów tej postaci), ale nie da się wybrać z niej skończonej liczby zbiorów, które pokryłyby cały odcinek (0,1).
