Funkcja analityczna

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Funkcję zespoloną (czyli taką, której wartościami są liczby zespolone) zmiennej zespolonej (czyli taką, której dziedzina jest podzbiorem zbioru liczb zespolonych) nazywamy funkcją analityczną (lub holomorficzną), gdy jej dziedziną jest otwarty podzbiór zbioru liczb zespolonych, zaś funkcja ta ma pochodną w każdym punkcie swojej dziedziny.

Pochodną funkcji zmiennej zespolonej w punkcie $z_0\in D\subset \mathbb{C}$ definiuje się tak samo, jak pochodną funkcji zmiennej rzeczywistej. Jeśli istnieje granica

$\lim_{\Delta z \to 0}\frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0},$

to oznaczamy ją symbolem $f'(z_0)\,$ i nazywamy pochodną funkcji f w punkcie $z 0$ .

Fakt, że zmienna jest zespolona, pociąga, w przeciwieństwie do funkcji zmiennej rzeczywistej, bardzo daleko idące konsekwencje. Okazuje się mianowicie, że istnienie pochodnej pierwszego rzędu w każdym punkcie dziedziny pociąga za sobą istnienie pochodnych dowolnego rzędu – nietrudno natomiast o przykład funkcji zmiennej rzeczywistej, która ma pochodną w zadanym punkcie, ale nie ma w nim drugiej pochodnej.

Każdą funkcję analityczną można rozwinąć w szereg potęgowy w pewnym otoczeniu dowolnego punktu jej dziedziny.

Funkcja $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\,$ jest analityczna (regularna), jeżeli posiada pochodną w pewnym otoczeniu punktu $z 0$ . Funkcja $f (z)$ jest holomorficzna w obszarze, jeśli jest holomorficzna w każdym punkcie tego obszaru. Funkcja analityczna na całej płaszczyźnie zespolonej jest nazywana funkcją całkowitą. Jeżeli funkcja nie jest w badanym obszarze (lub krzywej) analityczna to mówimy, że jest ona tam osobliwa

Własności:

Funkcja stała jest funkcją analityczną.
$f (z) = z n$ dla n=1,2,3.... oraz $f (x) = e x p (x)$ są funkcjami analitycznymi (całkowitymi).
Suma, iloczyn i iloraz funkcji analitycznych jest funkcją analityczną
Funkcja analityczna funkcji analitycznej (tzn. złożenie funkcji analitycznych) jest również funkcją analityczną.

[edytuj] Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../f/u/n/Funkcja_analityczna.html"

Kategoria: Funkcje matematyczne

Funkcja analityczna

Z Wikipedii

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

techniczne

zmiany

Szukaj

W innych językach