Przestrzeń ośrodkowa
Z Wikipedii
Przestrzeń ośrodkowa to przestrzeń topologiczna, która zawiera przeliczalny podzbiór gęsty (czasem zwany ośrodkiem).
Klasycznym przykładem przestrzeni ośrodkowej jest zbiór liczb rzeczywistych z metryką euklidesową. Ośrodkiem jest na przykład zbiór liczb wymiernych.
Przykładem przestrzeni nieośrodkowej może być również prosta rzeczywista, ale z topologią dyskretną, czyli prosta rzeczywista, w której każdy punkt jest zbiorem otwartym.
[edytuj] Podstawowe własności
- Przestrzeń ośrodkowa jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, kiedy posiada bazę przeliczalną.
- Jeśli przestrzeń spełnia drugi aksjomat przeliczalności, to jest ośrodkowa; implikacja w drugą stronę jest prawdziwa dla przestrzeni metrycznych.
- Podprzestrzeń przestrzeni metrycznej ośrodkowej jest ośrodkowa (założenie metryczności jest istotne).
- Przestrzeń zwarta metryczna jest ośrodkowa.
- Iloczyn kartezjański przeliczalnie wielu przestrzeni ośrodkowych jest ośrodkowy.
Nawet iloczyn kartezjański
wielu przestrzeni ośrodkowych jest ośrodkowy. - Przestrzeń ośrodkowa przekształcona przez funkcję ciągłą jest ośrodkowa.
