Przestrzeń topologiczna dyskretna

Z Wikipedii

Przestrzeń dyskretna i przestrzeń antydyskretna to chyba najprostsze przykłady przestrzeni topologicznych.

[edytuj] Definicje

Niech X będzie dowolnym zbiorem niepustym.

Topologię dyskretną na zbiorze X definiujemy jako rodzinę τ_dys wszystkich podzbiorów X. Tak więc każdy podzbiór X jest otwarty w topologii dyskretnej. Dyskretna przestrzeń topologiczna to przestrzeń postaci (X,τ_dys).

Topologię antydyskretną na zbiorze X definiujemy jako rodzinę . Tak więc tylko dwa podzbiory X są otwarte w topologii antydyskretnej: cała przestrzeń X i zbiór pusty. Antydyskretna przestrzeń topologiczna to przestrzeń postaci (X,τ_anty).

[edytuj] Własności

• Przestrzenie dyskretne są metryzowalne przez metrykę dyskretną w której odległość między różnymi punktami jest 1. W szczególności przestrzenie dyskretne są normalne.
• Każda przestrzeń dyskretna spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności. Taka przestrzeń spełnia drugi aksjomat przeliczalności wtedy i tylko wtedy gdy jest ona przeliczalna.
• Przestrzenie antydyskretne na zbiorach z co najmniej dwoma różnymi punktami nie są nawet przestrzeniami T₀.

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki.