Aksjomaty przeliczalności
Z Wikipedii
Nazwą aksjomaty przeliczalności obejmuje się dwie własności, które mogą przysługiwać, bądź nie, przestrzeniom topologicznym.
- Mówimy, że przestrzeń topologiczna spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności, gdy ma przeliczalną bazę otoczeń w każdym punkcie. Własność tę ma na przykład każda przestrzeń metryczna (przykładem odpowiedniej bazy jest rodzina kul o środku w danym punkcie i promieniach, np. wymiernych).
- Przestrzeń topologiczna spełnia drugi aksjomat przeliczalności, gdy ma przeliczalną bazę topologii. Przykładem takiej przestrzeni jest zbiór liczb rzeczywistych. Przeliczalną bazę tworzy na przykład rodzina przedziałów otwartych o końcach wymiernych. Ogólniej, każda przestrzeń metryczna ośrodkowa spełnia drugi aksjomat przeliczalności.
Oczywiście, jeżeli przestrzeń spełnia drugi aksjomat przeliczalności, to spełnia też pierwszy aksjomat. Implikacja w drugą stronę nie zachodzi. Na przykład, każda przestrzeń topologiczna dyskretna spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności, ale tylko przeliczalne przestrzenie topologiczne dyskretne spełniają drugi aksjomat.
