Spazio separabile

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In matematica, e più precisamente in topologia, uno spazio topologico è separabile se contiene un sottoinsieme numerabile e denso.

Gli spazi usati generalmente in analisi matematica e in geometria sono separabili: ad esempio la retta reale è separabile, perché contiene i numeri razionali, che sono un sottoinsieme denso e numerabile.

Allo stesso modo in cui i numeri reali possono essere approssimati, con la precisione desiderata, con numeri razionali, così uno spazio separabile possiede sottoinsiemi numerabili, tramite i quali ci si può avvicinare quanto si vuole ad ogni suo elemento, nel senso di limite matematico.

[modifica] Esempi

Uno spazio discreto è separabile se e solo se è numerabile.
I numeri reali R formano uno spazio separabile: i numeri razionali Q sono un sottoinsieme denso e numerabile. Più in generale, uno spazio euclideo Rⁿ è separabile, perché contiene l'insieme Qⁿ denso e numerabile.
Lo spazio delle funzioni continue sull'intervallo [0, 1] con la metrica della convergenza uniforme è separabile: i polinomi a coefficienti razionali formano un sottoinsieme denso e numerabile.
Uno spazio di Hilbert è separabile se e solo se ha una base ortonormale numerabile.

[modifica] Proprietà

L'immagine di uno spazio separabile tramite una funzione continua è separabile. Quindi lo spazio quoziente di uno spazio separabile è separabile.
Il prodotto di una quantità numerabile di spazi separabili è separabile.
Il sottospazio di uno spazio separabile può non essere separabile. Infatti ogni spazio non separabile è contenuto in uno separabile: è infatti sufficiente aggiungere allo spazio non separabile un punto, ed imporre che la chiusura di questo sia tutto lo spazio.
D'altra parte, ogni sottospazio aperto di uno spazio separabile è separabile. E ogni sottospazio di uno spazio metrico separabile è separabile.
La cardinalità di uno spazio di Hausdorff separabile è al più 2^c, dove c è la cardinalità dei numeri reali.
L'insieme di tutte le funzioni continue a valori in R su uno spazio separabile ha cardinalità al più c.