Separoituva avaruus

Wikipedia

Topologiassa ja vastaavilla matematiikan aloilla topologista avaruutta sanotaan separoituvaksi jos se sisältää numeroituvan tiheän osajoukon eli joukon, jossa on numeroituvan monta alkiota ja jonka sulkeuma on koko avaruus. Tämä ehto esiintyy tyypillisesti geometriassa ja matemaattisessa analyysissä. Esimerkiksi reaalilukuja voidaan approksimoida mielivaltaisella tarkkuudella rationaaliluvuilla. Rationaaliluvut ovat myös numeroituva joukko, joten reaalilukujen joukko on separoituva.

Separoituvuus asettaa topologisen avaruuden koolle rajoituksia. Separoituvuus luetaan usein erääksi numeroituvuusaksioomaksi. Aksiomaattiselta kannalta separoituvuutta tutkittiin 1940-1960 -luvuilla, jota ennen se luettiin kuuluvaksi deskriptiiviseen joukko-oppiin.

Esimerkiksi ottamalla separoituva kompleksinen ääretönulotteinen Hilbertin avaruus saadaan avaruus konstruoitua isomorfiaa vaille yksikäsitteisesti. Toisaalta esimerkiksi teoreettisessa fysiikassa on tutkittu myös epäseparoituvia Hilbertin avaruuksia.

Separoituvuus on erityisen tärkeä käsite numeerisessa analyysissä ja konstruktiivisessä matematiikassa, sillä monet matematiikan lauseet voidaan todistaa separoituvissa avaruuksissa konstruoimalla esimerkki, mikä ei ole mahdollista epäseparoituvissa avaruuksissa. Saatu konstruktiivinen todistus voidaan kirjoittaa numeeriseksi algoritmiksi. Kuuluisa esimerkki on Hahnin-Banachin lause.