Klasa abstrakcji

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Klasa abstrakcji elementu a $\isin$ X względem danej relacji równoważności R w zbiorze X to zbiór elementów x $\isin$ X, które są w relacji R z a. Formalnie: [a]_R = {b $\isin$ X : aRb} = {b $\isin$ X : (a,b) $\isin$ R}

Nazywa się ją też klasą równoważności (lub warstwą) elementu a i oznacza symbolem [a] albo a/R.

Każdy element zbioru, na którym określona jest dana relacja równoważności, należy do dokładnie jednej klasy abstrakcji względem tej relacji. Dwie dowolne klasy równoważności są rozłączne lub sobie równe. Formalnie: [a]_R = [b]_R $\iff$ aRb oraz [a]_R $\cap$ [b]_R $\ne \empty \iff$ [a]_R = [b]_R

Zbiór wszystkich klas abstrakcji nazywa się przestrzenią ilorazową, zbiorem ilorazowym lub ilorazem zbioru X przez relację R. Przestrzeń ilorazową względem relacji R oznaczamy symbolem X/R = {[a]_R : a $\isin$ X}, gdzie [a]_R $\subset$ X i [a]_R $\ne \empty$ .

Odwzorowanie $x\mapsto [x]_R$ nazywamy odwzorowaniem ilorazowym, rzutowaniem naturalnym lub rzutowaniem kanonicznym – zwłaszcza w sytuacji, gdy na zbiorze X zadana jest pewna dodatkowa struktura, na przykład grupy lub przestrzeni topologicznej.

Klasy równoważności tworzą podział zbioru X. Każdy podział {X_i}_iI zbioru X wyznacza relację równoważności. aRb $\iff \exist i \in I$ : a,b $\in$ X_i.

[edytuj] Przykłady

W zbiorze wszystkich samolotów wprowadzamy relację: dwa samoloty są równoważne, gdy mogą przewieść tę samą liczbę pasażerów. Jest to relacja równoważności — klasą abstrakcji danego samolotu zabierającego na pokład 50 osób jest zbiór wszystkich samolotów mogących przewieźć 50 osób.
W zbiorze P wszystkich par (a, b) liczb naturalnych relacja ~ określona następująco: (a, b) ~ (c, d) ⇔ a + d = b + c jest relacją równoważności. Przestrzeń ilorazową P / ~ można utożsamić ze zbiorem liczb całkowitych. Klasie [(a, b)] elementu (a, b) odpowiada liczba a – b. Wychodząc od zbioru liczb naturalnych jako podstawowej struktury można w ten sposób skonstruować liczby całkowite jako obiekty pochodne. Podobną konstrukcję można przeprowadzić dla liczb wymiernych oraz liczb rzeczywistych. W tym ostatnim przypadku relację równoważności wprowadza się w zbiorze wszystkich ciągów Cauchy'ego liczb wymiernych.
Niech n będzie ustaloną liczbą naturalną większą od 1 — w zbiorze Z liczb całkowitych wprowadzamy relację ≡: a ≡ b ⇔ n dzieli (a – b). Znów jest to relacja równoważności, a zbiór klas abstrakcji Z / ~ można utożsamić ze zbiorem Z_n = {0, 1, ..., n – 1} reszt z dzielenia liczb całkowitych przez n. Określając w odpowiedni sposób dodawanie i mnożenie klas abstrakcji, "nakładamy" na zbiór Z_n strukturę pierścienia Z modulo n. Jest to standardowa metoda konstruowania nowych obiektów w algebrze.
Jeżeli φ : S₁ → S₂ jest homomorfizmem pewnej algebry ogólnej S₁ na S₂, to relacja ~ określona w S₁ następująco a~b ⇔ φ(a) = φ(b) jest relacją równoważności. Określając w odpowiedni sposób działania w zbiorze S₁ / ~, jak w poprzednim przykładzie "nakładamy" na S₁ / ~ strukturę algebry — ta algebra ilorazowa jest już izomorficzna z S₂. Konstrukcja ta jest szczególnie często wykorzystywana w teorii grup.
Mając dany podział zbioru X można określić w zbiorze X relację równoważności jak następuje: x~y ⇔ x i y należą do tego samego zbioru podziału. Klasy abstrakcji poszczególnych elementów pokrywają się wówczas ze zbiorami tworzącymi podział.
Przykład dla programistów: Obiekt danej klasy (w sensie programowania obiektowego) jest tym czym pojęcie klasy abstrakcji w odniesieniu do klasy (w sensie matematycznym).