Aksjomat wyboru

Z Wikipedii

Aksjomat wyboru (oznaczany AC) to jeden z aksjomatów teorii mnogości. Używa się różnych jego równoważnych sformułowań. Najczęściej spotykane jest następujące:

dla każdej rodziny u niepustych zbiorów rozłącznych istnieje zbiór v, do którego należy dokładnie po jednym elemencie każdego ze zbiorów z tej rodziny u (zbiór taki nazywany jest selektorem).

Przykładem innego sformułowania aksjomatu wyboru jest:

iloczyn kartezjański dowolnej liczby niepustych zbiorów jest niepusty.

Równoważne aksjomatowi wyboru są także tak zwany lemat Kuratowskiego-Zorna oraz twierdzenie mówiące, że każdy zbiór można dobrze uporządkować.

[edytuj] Kontrowersje związane z aksjomatem wyboru

Aksjomat wyboru jest trywialny (i wynika z innych aksjomatów), jeśli zastosować go do skończonych rodzin zbiorów. W przypadku, kiedy mamy do czynienia z nieskończoną rodziną zbiorów, wydaje się również intuicyjny, lecz jego konsekwencje są zaskakujące. Na przykład, Stefan Banach i Alfred Tarski korzystając z AC udowodnili twierdzenie o paradoksalnym rozkładzie kuli. Mówi ono, że w przestrzeni euklidesowej R³ można podzielić kulę na skończoną liczbę części, z których da się złożyć dwie kule o takiej samej średnicy, co kula wyjściowa.

Obecnie większość matematyków uznaje i stosuje aksjomat wyboru. Przy twierdzeniach, których dowód go wykorzystuje, przyjęło się jednak zaznaczać ten fakt. Dowody twierdzeń, w których używa się aksjomatu wyboru nazywa się dowodami nieefektywnymi.

Można również rozważać modele teorii mnogości, w których prawdziwa jest negacja aksjomatu wyboru.

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki
• Aksjomaty Zermelo-Fraenkela