Slinger (natuurkunde)

Een slinger bestaat uit een massa opgehangen aan het uiteinde van een koord of een staaf die aan de bovenzijde vrij draaibaar is. Als de massa opzij getrokken wordt en daarna losgelaten, zal de massa heen en weer bewegen onder invloed van de zwaartekracht. De massa passeert daarbij telkens het centrale, laagste punt.

Er zijn ook slingers die niet van de zwaartekracht als terugdrijvende kracht gebruikmaken. Zo bestaat een torsieslinger uit een massa die aan een (fijne) draad, de torsiedraad, bevestigd is en door verdraaiing een torsiekracht in de draad veroorzaakt die als terugdrijvende kracht fungeert. Een torsieslinger werkt ook buiten een zwaartekrachtsveld. Een metronoom is een soort omgekeerde slinger - de massa zit hier aan de bovenkant van de staaf - die een veer gebruikt om de terugdrijvende kracht te leveren.

Galileo Galilei ontdekte dat een slinger een regelmatige periodieke beweging maakt, waarvan hij direct bedacht dat dit de slinger zinvol zou maken om de tijd bij te houden, zoals in een klok. Later werd dan ook het slingeruurwerk uitgevonden door Christiaan Huygens. De grootte van de massa aan het uiteinde van de slinger heeft geen effect op de periode, en ook de amplitude, mits deze klein is, beïnvloedt de slingertijd niet.

Bij kleine verplaatsingen van de massa kan de beweging van een slinger wiskundig beschreven worden als eenvoudige harmonische beweging. Dit komt doordat dan de uitwijking vrijwel evenredig is met "terugdrijvende" kracht, overeenkomstig de Wet van Hooke voor een veer. Werkelijke slingers hebben echter geen "oneindig kleine verplaatsingen" en zijn daardoor enigszins niet lineair. Huygens toonde aan dat een "ideale" slinger niet volgens een cirkel moet bewegen, maar langs een cycloïde. Ook zullen niet-ideale-slingers energie verliezen, zodat ze een gedempte trilling uitvoeren.

[bewerk] Wiskundige beschrijving

Een slinger bestaat uit een puntmassa aan het einde van een massaloze staaf met lengte l, de slingerlengte. De beweging van de slinger wordt beschreven door de hoek $θ$ tussen de staaf en de verticaal. De versnelling van de massa bestaat uit de component $-g\,\sin\theta$ van de zwaartekrachtsversnelling g langs de bewegingsrichting van de slinger. De versnelling is de hoekversnelling vermenigvuldigd met de lengte van de staaf, zodat de bewegingsvergelijking gegeven wordt door de volgende differentiaalvergelijking:

$\ell\,\frac{d^2\theta}{dt^2}=-g\,\sin\theta$

Als de amplitude klein is, geldt $\sin\theta \approx \theta$ , zodat:

$\ell\,\frac{d^2\theta}{dt^2}=-g\,\theta$

Als de slinger op tijdstip 0 onder de hoek $θ 0$ staat, die ook gelijk is aan de maximale hoek, voldoet de volgende functie aan de differentiaalvergelijking:

$\theta = \theta_0\,\cos \left(\sqrt{\frac{g}{\ell}}\, t\right)$

Dit is de formule voor een eenvoudige harmonische beweging, waarin de factor $\sqrt{\frac{g}{\ell}}$ gelijk is aan $\frac{2\pi}{T_0}$ , waarin $T 0$ de periode van een volledige oscillatie is (heen en terug).

Omdat geldt $\omega = \sqrt{\frac{g}{\ell}} = \frac{2\pi}{T_0}$ , wordt de periode van een volledige trilling eenvoudig gevonden. Dit is de Wet van Huygens:

$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}$

Hieruit blijkt dus dat de trillingtijd van een slinger op zeeniveau alleen afhangt van de lengte. Met een slinger kan men dus ook kleine afwijkingen van g bepalen. Hieruit blijkt ook dat een slinger met dezelfde lengte op de maan, waar de zwaartekracht kleiner is, langzamer zal slingeren dan op aarde.

Dit effect heeft F.A. Vening Meinesz gebruikt om de vorm van de aarde te meten tijdens zijn beroemde reizen met de marine.

[bewerk] Zie ook:

Categorie: Natuurkunde

Slinger (natuurkunde)

[bewerk] Wiskundige beschrijving

[bewerk] Zie ook:

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen