Orthonormale basis
[bewerk] Definitie
In de lineaire algebra heet een basis van een vectorruimte, bestaande uit de vectoren orthonormaal, als voor elk paar vectoren
en
het inwendig product gelijk is aan δij. Hierbij is δij de Kronecker delta.
Anders geformuleerd: Een basis van vectoren heet orthonormaal, als voor het inwendig product van elk paar vectoren
en
geldt:
als i verschillend is van j
als i gelijk is aan j
Nog anders geformuleerd, een basis van vectoren heet orthonormaal, als ze genormeerd en orthogonaal is.
[bewerk] Voorbeelden
- {(1,0),(0,1)} is een orthonormale basis van
. Algemener is de standaardbasis {(1,0,0,...),(0,1,0,0,...),...,(0,0,...,1)} van
orthonormaal.
- De basis {fn : n ∈ Z} , met
vormen een orthogonale ruimte. Deze eigenschap wordt gebruikt bij de fourieranalyse.
[bewerk] Eigenschappen
De procedure van Gram-Schmidt geeft ons een directe methode om een willekeurige basis om te vormen tot een orthonormale basis.
De kolommen (en rijen) van een n-dimensionale, orthogonale transformatie vormen een orthonormale basis van vectoren voor .