Baza ortonormalna
Z Wikipedii
Baza ortonormalna – zbiór wektorów przestrzeni wektorowej z iloczynem skalarnym (a więc przestrzeni wektorowej nad ciałem liczbowym, w szczególności może to być przestrzeń Hilberta) o tej własności, że wszystkie jego wektory są parami ortogonalne, mają normę równą 1, a powłoka liniowa tego zbioru jest zbiorem gęstym w danej przestrzeni w topologii generowanej przez iloczyn skalarny.
Jeżeli opuścić wymóg, by wektory bazy miały normę 1, otrzymujemy pojęcie bazy ortogonalnej. Jeżli (vi) jest bazą ortogonalną, to (vi/||vi||), gdzie ||vi|| oznacza normę wektora vi, jest już bazą ortonormalną.
W teorii skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych, bazę ortonormalną definiuje się zwykle jako bazę, której wektory są parami ortogonalne i mają normę 1. W przestrzeni skończonego wymiaru określenie to jest równoważne poprzedniemu, na ogół jednak baza ortonormalna nie jest bazą w zwykłym sensie przestrzeni liniowej. W przestrzeniach nieskończenie wymiarowych pojęcia te nie są równoważne. Dla odróżnienia bazy w sensie teorii przestrzeni liniowej od bazy ortogonalnej (ortonormalnej) tę pierwszą nazywa się czasem bazą Hamela. Znaczenie baz Hamela dla teorii przestrzeni z iloczynem skalarnym jest niewielkie.
Spis treści |
[edytuj] Przykłady
- Zbiór {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} jest bazą ortonormalną przestrzeni euklidesowej R3.
- Zbiór {(1,0,0,...),(0,1,0,...),(0,0,1,...)} jest bazą ortonormalną przestrzeni l2 wszystkich ciągów an liczb rzeczywistych (lub zespolonych) o tej własności, że szereg ∑an2 jest zbieżny.
- Zbiór {e2πin : n ∈ Z} gdzie jest bazą ortonormalną przestrzeni zespolonej L2([0,1]). Fakt ten jest podstawą teorii szeregów Fouriera.
- Jeśli B jest dowolnym zbiorem, a l2(B) oznacza przestrzeń złożoną z wszystkich funkcji zespolonych określonych na B i takich, że szereg:
jest zbieżny (z definicji sumę tę rozumie się w ten sposób, że co najwyżej przeliczalna ilość f(b) jest różna od zera), to rodzina funkcji {fb : b ∈ B}, gdzie fb(c) = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy b=c i 0 w pozostałych przypadkach, jest bazą ortogonalną przestrzeni l2(B).
[edytuj] Podstawowe wzory
Jeżeli B jest bazą ortonormalną przestrzeni V, to dowolny wektor v tej przestrzeni daje się zapisać w postaci:
Powyższa równość nazywana jest rozwinięciem Fouriera elementu v w bazie B. Normę wektora v można wyrazić za pomocą równości:
.
Równości te są prawdziwe również w przypadku, gdy B jest zbiorem nieprzeliczalnym, gdyż z definicji jedynie przeliczalnie wiele składników odpowiedniej sumy jest różnych od zera.
Przestrzeń V z bazą B jest izomorficzna z opisaną wyżej przestrzenią l2(B) z zachowaniem iloczynu skalarnego.
[edytuj] Istnienie bazy ortonormalnej
Jeżeli S jest zbiorem wektorów parami ortogonalnych w przestrzeni Hilberta V, to domknięcie powłoki liniowej zbioru S jest podprzestrzenią liniową V. S jest wówczas bazą ortogonalną dla tej podprzestrzeni.
Korzystając z lematu Kuratowskiego-Zorna można uzasadnić, że każda przestrzeń Hilberta ma bazę ortogonalną, a w konsekwencji ortonormalną. Dowolne dwie bazy ortogonalne jednej przestrzeni mają równą moc. Przestrzeń Hilberta jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy ma przeliczalną bazę ortogonalną.
[edytuj] Ortogonalizacja
Każdy skończony lub przeliczalny układ wektorów liniowo niezależnych można zortogonalizować – to znaczy utworzyć inny układ wektorów, będących kombinacjami liniowymi wektorów danego układu w ten sposób, by nowy układ był już układem ortogonalnym. Typową metodą jest ortogonalizacja Grama-Schmidta.