Ortonormal bas

Wikipedia

I matematiken är en ortonormal bas i ett inre produktrum (även: vektorrum med inre produkt) en mängd element som spänner upp en tät delmängd i rummet och som är parvis ortogonala och av längd 1. Notera att en ortonormal bas är i allmänhet inte en "bas", d.v.s. det är i allmänhet inte möjligt att ange varje element i rummet som en ändlig linjärkombination av baselement. Detta är varför definitionen ovan endast kräver att rummet som spänns upp av den ortonormala basen är tät i vektorrummet, inte att det är lika med hela rummet. Inte heller är det möjligt att tala om en ortonormal bas i varje vektorrum, såvida det inte har en inre produkt först. Allmänna Banachrum har till exempel inte någon ortonormal bas.

Exempel på ortonormala baser:

mängden {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} ger en ortonormal bas på R³
mängden {f_n : n ∈ Z} med f_n(x) = exp(2πinx) ger en ortonormal bas på det komplexa rummet L²([0,1])
mängden {e_b : b ∈ B} med e_b(c) = 1 om b=c och 0 i övrigt ger en ortonormal bas på rummet l²(B).

Notera att i det oändligdimensionella fallet, så kommer en ortonormal bas inte bli en bas i samma mening som i linjär algebra; för att skilja dem åt så kallas baser i oändligdimensionella rum för Hamelbaser.

Genom att använda Zorns lemma så kan man visa att varje Hilbertrum kan ges enn ortonormal bas; dessutom: två ortonormala baser i ett rum har samma kardinalitet. Ett Hilbertrum är separabelt omm det finns en uppräknelig ortonormal bas.

Om B är en ortonormal bas i H så kan varje element x i H skrivas som

$x=\sum_{b\in B}\langle x,b\rangle b$

och normen av x ges av

$\|x\|^2=\sum_{b\in B}|\langle x,b\rangle |^2$ .

Även om B är ouppräknelig så kommer endast ett ändligt antal termer i summan vara skilda från noll, och uttrycket är därmed väldefinierat. Summan kallas även Fourierutvecklingen av x.

Om B är en ortonormal bas i H, så är H isomorf med l²(B) i följande mening: det existerar en bijektiv linjär avbildning Φ : H -> l²(B) sådan att