Ortonormal bas
Wikipedia
I matematiken är en ortonormal bas i ett inre produktrum (även: vektorrum med inre produkt) en mängd element som spänner upp en tät delmängd i rummet och som är parvis ortogonala och av längd 1. Notera att en ortonormal bas är i allmänhet inte en "bas", d.v.s. det är i allmänhet inte möjligt att ange varje element i rummet som en ändlig linjärkombination av baselement. Detta är varför definitionen ovan endast kräver att rummet som spänns upp av den ortonormala basen är tät i vektorrummet, inte att det är lika med hela rummet. Inte heller är det möjligt att tala om en ortonormal bas i varje vektorrum, såvida det inte har en inre produkt först. Allmänna Banachrum har till exempel inte någon ortonormal bas.
Exempel på ortonormala baser:
- mängden {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} ger en ortonormal bas på R3
- mängden {fn : n ∈ Z} med fn(x) = exp(2πinx) ger en ortonormal bas på det komplexa rummet L2([0,1])
- mängden {eb : b ∈ B} med eb(c) = 1 om b=c och 0 i övrigt ger en ortonormal bas på rummet l2(B).
Notera att i det oändligdimensionella fallet, så kommer en ortonormal bas inte bli en bas i samma mening som i linjär algebra; för att skilja dem åt så kallas baser i oändligdimensionella rum för Hamelbaser.
Genom att använda Zorns lemma så kan man visa att varje Hilbertrum kan ges enn ortonormal bas; dessutom: två ortonormala baser i ett rum har samma kardinalitet. Ett Hilbertrum är separabelt omm det finns en uppräknelig ortonormal bas.
Om B är en ortonormal bas i H så kan varje element x i H skrivas som
och normen av x ges av
.
Även om B är ouppräknelig så kommer endast ett ändligt antal termer i summan vara skilda från noll, och uttrycket är därmed väldefinierat. Summan kallas även Fourierutvecklingen av x.
Om B är en ortonormal bas i H, så är H isomorf med l2(B) i följande mening: det existerar en bijektiv linjär avbildning Φ : H -> l2(B) sådan att
för alla x och y i H.
[redigera] Se även
- Hamelbas
- Inre produktrum