Discrete-tijd fouriertransformatie
De discrete-tijd fouriertransformatie (of DTFT) maakt deel uit van de familie van de fouriertransformaties. Hij transformeert een functie f(n) van een discrete "tijds-" variabele n waarbij . De DTFT produceert een continu, periodiek spectrum F(eiω).
Inhoud |
[bewerk] Definitie
De DTFT van f(n) wordt gegeven door:
We kunnen f(n) terugkrijgen via de inverse DTFT.
[bewerk] Periodiciteit van de DTFT
De DTFT is 2π periodiek, namelijk
zoals hieronder wordt bewezen.
Omdat (zie complex getal), is het bovenstaande gelijk aan
waarmee periodiciteit aangetoond is. We zien derhalve dat discreetheid in het ene domein leidt tot periodiciteit in het geconjungeerde domein.
[bewerk] Verschil tussen de DTFT en de DFT
De DTFT verschilt van de discrete fouriertransformatie (DFT) in het aspect dat de laatste een periodieke discrete-tijd functie f(n) transformeert. Voor een tijdbegrensd signaal met tijdsduur N gegeven door , bemonstert in feite de DFT met uniforme tussen-intervallen de DTFT op de punten in het frequentie-domein.
[bewerk] Relatie met de z-transformatie
De DTFT is een speciaal geval van de z-transformatie. De z-transformatie is als volgt gedefinieerd:
Als we de z-getransformeerde berekenen voor z = eiω, dan verschijnt de DTFT. (Daarom wordt voor de DTFT de notatie F(eiω) geprefereerd boven de notatie F(ω).)
Merk op dat berekening van de DTFT voor z = eiω equivalent is met het berekenen van de z-getransformeerde op de eenheidscirkel in het complexe vlak.