Basis (lineaire algebra)

In de lineaire algebra, is een basis van een vectorruimte een verzameling van lineair onafhankelijke vectoren, die de vectorruimte voortbrengen.

Intuïtief beschouwd is een basis een zo klein mogelijke verzameling vectoren die de hele vectorruimte voortbrengen, dus waarvan de lineaire combinaties de vectorruimte vormen.

Inhoud 1 Definitie 2 Dimensie 3 Voorbeelden 4 Orthogonaliteit

[bewerk] Definitie

Binnen een vectorruimte V over een lichaam K (in België: veld) wordt een set van vectoren
e₁, e₂, ..., e_n een basis van deze vectorruimte genoemd indien deze set van vectoren voldoet aan twee voorwaarden:

1. e₁, e₂, ..., e_n zijn lineair onafhankelijke vectoren in V
   
2. iedere vector v uit V is een lineaire combinatie van vectoren uit deze set of anders gezegd: de vectoren van de basis zijn een voortbrengend deel.

Omdat de vectoren in een basis lineair onafhankelijk zijn, is de bovengenoemde lineaire combinatie uniek. Bij een element v uit V zijn er dus eenduidig bepaalde getallen (scalairen) v₁, v₂, ... ,v_n uit K te vinden, zodat:

v = v₁ e₁ + v₂ e₂ + ... + v_n e_n.

De getallen v₁, v₂, ..., v_n heten de coördinaten van de vector v ten opzichte van de basis {e₁, ..., e_n}.

[bewerk] Dimensie

Er kan worden bewezen dat elke basis van een vectorruimte uit hetzelfde aantal vectoren bestaat. Dit aantal is dus op te vatten als een eigenschap van de vectorruimte en wordt de dimensie genoemd.

Verder is het zo dat, onder de veronderstelling van de geldigheid van het keuzeaxioma, iedere vectorruimte een basis heeft. Men kan het begrip basis volkomen analoog definiëren voor een moduul over een commutatieve ring, maar niet ieder moduul heeft een basis.

In sommige soorten oneindigdimensionale vectorruimten, met name Banachruimten, wordt een ander begrip "basis" gehanteerd dan het bovenstaande. Men laat toe dat de "lineaire combinatie" een norm-convergente oneindige reeks van vectoren is. Zo'n basis wordt wel een Schauderbasis genoemd ter onderscheiding van een gewone basis zoals in de definitie hierboven, die dan met Hamelbasis wordt aangeduid.

[bewerk] Voorbeelden

De vectoren (1,0) en (0,1) vormen een basis voor , de zgn. basis van eenheidsvectoren. Deze basis is een orthonormale basis. Ook de vectoren (1,3) en (2,3) vormen een basis, zoals trouwens elk tweetal lineair onafhankelijke vectoren.

Een minder triviaal voorbeeld: is een basis voor de vectorruimte over .

[bewerk] Orthogonaliteit

Voor vectorruimten over het scalairenlichaam of bestaat de notie van een inproduct. Men noemt twee vectoren die verschillend zijn van de nulvector, orthogonaal of loodrecht als hun inproduct nul is. Een eenheidsvector is een vector waarvan het inproduct met zichzelf 1 bedraagt.

Een orthogonale basis is een basis waarvan de vectoren onderling loodrecht zijn. Een orthonormale basis is een orthogonale basis die uit eenheidsvectoren bestaat. In een eindigdimensionale vectorruimte met een scalair product kan men uit een gewone basis een orthonormale basis distilleren met behulp van de het GS-procédé. Dit procédé blijft geldig in een oneindigdimensionale separabele Hilbertruimte om een Schauderbasis orthonormaal te maken.