연분수

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연분수(連分數)는 다음과 같은 꼴의 분수를 말한다.

식에서 a₀ 은 정수, 나머지 a_n 은 양의 정수이다. 위 분수꼴의 수는 x = [a₀; a₁, a₂, a₃]로 쓰기도 한다. 같은 방법으로 일반적인 연분수를 [a₀; a₁, a₂, ..., a_n] 로 쓴다. 이를 유한에만 한정하지 않고, 무한까지 확장하여, 무한 연분수를 다음과 같이 극한을 이용하여 정의할 수도 있다.

위 극한은 어떤 양의 정수 a₁, a₂, a₃ ... 들에 대해서도 존재한다.

모든 유한 연분수는 유리수이며, 모든 유리수는 [2; 3, 1] = [2; 4] = 9/4 = 2.25 의 경우와 같이 정확히 두가지 유한 연분수로 나타내어진다. 모든 무한 연분수는 무리수이며, 모든 무리수는 단 하나의 연분수로밖에 표현할 수 없다.

무리수를 무한 연분수로 나타내는 방법은, 처음 몇 항 까지의 연분수가 좋은 유리수 근사값을 주기 때문에 특히 유용하다. 이런 근사 유리수값을 연분수의 근사분수(convergents)라 부른다. 짝수 근사분수는 실제값보다 작은데 비하여, 홀수 근사분수는 실제값보다 크다.

예를 들어, 원주율 파이의 근사분수들을 계산해 보자. 먼저 a₀ = [π] = 3 ( [x] 는 x보다 작은 최대 정수)를 얻는다. 이어, u₁ = 1/(π - 3) ≈ 113/16 = 7.0625 로, a₁ = [u₁] = 7 로 정의하고, 이어 u₂ = 1/(u₁ - 7) ≈ 31993/2000 = 15.9965 , a₂ = [u₂] = 15, u₃ = 1/(u₃ - 15) ≈ 1003/1000 = 1.003 이런 식으로 계속 나간다. 이를 반복하면, 무한 연분수 π as [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...]를 얻는다. π의 세번째 근사분수 는 [3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3.14159292035... 이며,이는 실제 π 값에 매우 가까운 값이다.