連分数
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連分数 (れんぶんすう) とは、分母に更に分数が含まれているような分数のことを指す。 分子が全て1である場合には特に正則連分数ということがある。 具体的には次のような形である。
ここでa0は整数、それ以外のanは正の整数である。正則連分数は、公約数を求めるユークリッドのアルゴリズムから自然に生じるものであり、古来からペル方程式の解法にも利用された。二次の無理数の正則連分数展開は必ず循環することが知られている。
連分数を式で表す際には次のような書き方もある。
- または、
- x = [a0; a1, a2, a3]
同じように、分数を無限に連ねていくこともできる。
![[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots ] = \lim_{n \to \infty} [a_{0}; a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}]](../../../math/c/c/3/cc3cd350f2c496479344e442d55e4356.png)
[編集] 連分数展開の例
（ここでの説明は、直感的にわかりやすくしてあるが、数学的には不正確である）
例として、黄金比φを考える。φ は、x2 - x - 1 = 0 の正の解である。 この式を変形すると、
- x2 = x + 1
以下同様に、
![\phi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\ddots}}}} = [1; 1, 1, 1, 1, 1, \ldots]](../../../math/a/e/e/aee100f6396befeaefc2ff9f36ec4f2a.png)
と、表す事が出来る。
[編集] 様々な数の連分数展開
- √ 2 = [1; 2, 2, 2, 2, 2, 2, ...]
- √ 3 = [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, ...]
