Frazione continua

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In matematica, una frazione continua è una espressione quale

$x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3+\,\cdots}}}$

dove a₀ è un intero e tutti gli altri numeri a_n sono interi positivi. Espressioni più lunghe sono definite in modo analogo. Se i numeratori possono differire dall'unità, l'espressione risultante è una frazione continua generalizzata. Per chiarezza una frazione continua non generalizzata viene anche chiamata una frazione continua semplice.

Indice

1 Motivazione
2 Calcolo della rappresentazione delle frazioni continue
3 Notazione per le frazioni continue
4 Frazioni continue finite
5 Frazioni continue infinite
6 Alcuni utili teoremi
7 Semiconvergenze
8 Approssimazioni razionali migliori
9 Espansione di π in frazione continua
10 Equazione di Pell
11 Frazioni continue e chaos
12 Voci correlate
13 Collegamenti esterni
14 Bibliografia

[modifica] Motivazione

Il concetto di frazione continua serve per soddisfare il bisogno di avere una rappresentazione "matematicamente pura" dei numeri reali. La più nota tra le rappresentazioni, naturalmente, è l'espansione decimale. In questa rappresentazione, il numero π, per esempio, è rappresentato dalla sequenza di interi {3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, ...}. Si dice che la sequenza di interi {a_i} rappresenta il numero reale r se

$r = \sum_{i=0}^\infty a_i 10^{-i}$

ed ogni a_i (eccetto eventualmente a₀, che può essere qualsiasi intero) è un elemento dell'insieme {0, 1, 2, ..., 9}.

Purtroppo questa rappresentazione soffre di alcuni problemi. Un problema è la presenza della costante arbitraria 10 nella formula precedente. Perché 10? In effetti 10 è la base standard del nostro sistema di numerazione, ma potremmo utilizzare qualsiasi altro sistema, per esempio la base 8 (ottale) o la base 2 (binario). Un altro problema è che molti numeri semplici non possono essere rappresentati in modo finito con questo sistema. Per esempio, il numero 1/3 è rappresentato dalla sequenza infinita (0, 3, 3, 3, 3, ...).

Le frazioni continue sono una rappresentazione dei numeri reali che risolve li primo problema e semplifica il secondo. Consideriamo come si può descrivere un numero come 415/93, che fa all'incirca 4,4624. Ad una prima approssimazione, il risultato è circa 4. A questo numero, dobbiamo aggiungere ancora un po', circa 1/2. Ma il 2 del denominatore non è corretto, è un po' più di 2, circa 2 e 1/6; quindi 415/93 vale approssimativamente 4 + 1 /(2 + 1/6). Ma ancora, il 6 nel demonimatore dell'ultima frazione non è corretto; il denominatore corretto è un po' più di sei, per la precisione 6 + 1/7. Quindi 415/93 è in realtà 4 + 1 /(2 + 1 /(6 + 1/7)). Questo valore è esatto, e può essere scritto con la notazione abbreviata [4; 2, 6, 7].

La rappresentazione dei numeri reali in termini di frazioni continue ha parecchie proprietà utili:

La frazione continua di un numero è finita se e solo se il numero è razionale.
La frazione continua dei numeri razionali "semplici" è breve.
La frazione continua dei numeri irrazionali è unica.
La frazione continua di un numero razionale è quasi unica: ci sono esattamente due frazioni continue per ogni numero razionale, che sono uguali, tranne per il fatto che una termina con ...a, 1] e l'altra con ...a+1].
Troncando la frazione continua di un numero x si ottiene un'approssimazione razionale di x che in un certo senso è la "migliore possibile".

Quest'ultima proprietà è estremamente importante, e non è vera per la rappresentazione decimale convenzionale. Troncando la rappresentazione decimale di un numero si ottiene una approssimazione razionale di quel numero, ma di solito non una buona approssimazione. Per esempio, troncando 1/7 = 0,142857... in vari posti decimali, si ottengono approssimazioni quali 142/1000, 14/100 ed 1/10. Ma chiaramente l'approssimazione la migliore è "1/7" stesso. Troncando la rappresentazione decimale di π si ottengono approssimazioni quali 31415/1000 e 314/100. La rappresentazione sotto forma di frazione continua di π comincia con [3; 7, 15, 1, 292, ...]. Troncando questa rappresentazione si ottengono le eccellenti approssimazioni razionali di π 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, ... I denominatori di 314/100 e 333/106 sono quasi gli stessi, ma l'errore nell'approssimazione 314/100 è diciannove volte più grande dell'errore in 333/106. Come approssimazione di π [3; 7, 15, 1] è più accurato di una parte per milione.

[modifica] Calcolo della rappresentazione delle frazioni continue

Si consideri un numero reale r. Sia i la parte intera e f la parte frazionaria di r. Allora la frazione continua che rappresenta r è [i; …], dove "…" è la frazione continua che rappresenta 1/f. È consuetudine sostituire la prima virgola con un punto e virgola.

Per calcolare la rappresentazione tramite frazione continua di un numero r, si scrive la parte intera di r. Si sottrae da r questa parte intera. Se la differenza è zero ci si ferma, altrimenti si prende il reciproco della differenza e si ripete l'algoritmo. La procedura termina se e solo se r è un razionale.

Ricerca della frazione continua del numero 3.245
$3\,$	$3.245 - 3\,$	$= 0.245\,$	$1 / 0.245\,$	$= 4.082\,$
$4\,$	$4.082 - 4\,$	$= 0.082\,$	$1 / 0.082\,$	$= 12.250\,$
$12\,$	$12.250 - 12\,$	$= 0.250\,$	$1 / 0.250\,$	$= 4.000\,$
$4\,$	$4.000 - 4\,$	$= 0.000\,$	FINE
la frazione continua per 3.245 è [3; 4, 12, 4]
$3.245 = 3 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{12 + \cfrac{1}{4}}}$

Il numero 3.245 può anche essere rappresentato con l'espansione in frazioni continue [3; 4, 12, 3, 1]; si facca riferimento a frazioni continue finite nel seguito.

Questo algoritmo è adatto per i numeri reali, ma può condurre a disastri numerici se implementato con numeri a virgola mobile (floating point). Invece, ogni numero floating point è razionale (il denominatore è una potenza di due sui computer moderni), quindi una variante dell'algoritmo GCD di Euclide può essere usato per avere un risultato corretto.

[modifica] Notazione per le frazioni continue

Le frazioni continue posso essere abbreviate in questo modo:

$x = [a_0; a_1, a_2, a_3] \;$

oppure usando la notazione di Pringsheim

$x = a_0 + \frac{1 \mid}{\mid a_1} + \frac{1 \mid}{\mid a_2} + \frac{1 \mid}{\mid a_3}$

oppure con una notazione poco usata:

$x = a_0 + {1 \over a_1 + } {1 \over a_2 +} {1 \over a_3 +}.$

Si possono anche definire frazioni continue infinite come limite:

$[a_0; a_1, a_2, a_3, \ldots ] = \lim_{n \to \infty} [a_0; a_1, a_2, \ldots, a_n].$

il limite esiste per ogni scelta di interi positivi $a_1, a_2, a_3, \ldots$

[modifica] Frazioni continue finite

Per frazioni continue finite si nota che:

$[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots ,a_{n}, 1]=[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots, a_{n} + 1]. \;$

Quindi, ogni frazione continua finita è un numero razionale e ogni numero razionale può essere rappresentato da esattamente due frazioni continue: in una rappresentazione, il termine finale della frazione è 1; l'altra rappresentazione è più corta di un elemento e il termine finale deve essere più grande di 1 a meno che non ci sia un solo elemento.

Esempio: $[2; 3; 1] = [2; 4] = 9/4 = 2.25. \;$

[modifica] Frazioni continue infinite

Ogni frazione continua infinita è un numero irrazionale, e ogni numero irrazionale può essere rappresentato precisamente in un unico modo come frazione continua infinita.

Una rappresentazione di un numero irrazionale con una frazione continua infinita è utile principalmente perché i suoi segmenti iniziali forniscono un eccellente approssimazione razionale del numero. Questi numeri razionali sono chiamati le convergenze della frazione continua. Le convergenze di ordine pari sono più piccole del numero originale, mentre quelle di ordine dispari sono più grandi.

Per una frazione continua $[a_0;a_1,a_2,\ldots]$ , le prime quattro convergenze (numerate da $0$ a $3$ ) sono:

$\frac{a_0}{1},\qquad \frac{a_0a_1+1}{a_1},\qquad \frac{ a_2(a_0a_1+1)+a_0}{a_2a_1+1},\qquad \frac{a_3(a_2(a_0a_1+1)+a_0)+(a_0a_1+1)}{a_3(a_2a_1+1)+a_1}.$

A parole, il numeratore della terza convergenza è formato dal prodotto del numeratore della seconda convergenza con il terzo quoziente, aggiungendo il numeratore della prima convergenza. I denominatori si trovano in modo simile.

Se vengono trovate successive convergenze, con numeratori $h_1,h_2,\ldots$ e denominatori $k_1,k_2,\ldots$ allora la relazione ricorsiva relativa è:

$h_n=a_nh_{n-1}+h_{n-2},\qquad k_n=a_nk_{n-1}+k_{n-2}.$

Le successive convergenze sono date dalla formula:

$\frac{h_n}{k_n}= \frac{a_nh_{n-1}+h_{n-2}}{a_nk_{n-1}+k_{n-2}}.$

[modifica] Alcuni utili teoremi

Se $a_0,a_1,a_2,\ldots$ sono una successione di interi positivi, sia definita ricorsivamente la successione $h n$ and $k n$ :

$h_{n}=a_nh_{n-1}+h_{n-2},\qquad h_{-1}=1,\qquad h_{-2}=0$

$k_{n}=a_nk_{n-1}+k_{n-2},\qquad k_{-1}=0,\qquad k_{-2}=1$

[modifica] Teorema 1

Per ogni $x\in\mathbb{R}$ positivo

$\left[a_0; a_1, \,\dots, a_{n-1}, x \right]= \frac{x h_{n-1}+h_{n-2}} {x k_{n-1}+k_{n-2}}.$

[modifica] Teorema 2

Le convergenze di $[a_0; a_1, a_2, \ldots]$ sono date da

$\left[a_0; a_1, \,\dots, a_n\right]= \frac{h_n} {k_n}.$

[modifica] Teorema 3

Se l' n-esima convergenza di una frazione continua è $h n / k n$ , allora

k n h n - 1 - k n - 1 h n = ( - 1) n .

Corollario 1:: Ogni convergenza è nel suo termine minore (se $h n$ e $k n$ hanno un divisore comune non banale esso deve dividere $k n h n - 1 - k n - 1 h n$ , che è impossibile).

Corollario 2: La differenza tra due successive convergene è una frazione continua il cui numeratore è l'unità:unity:

$\left|\frac{h_n}{k_n}-\frac{h_{n-1}}{k_{n-1}} \right|= \left|\frac{h_nk_{n-1}-k_nh_{n-1}}{k_nk_{n-1}}\right|= \frac{1}{k_nk_{n-1}}.$

Corollario 3: La frazione continua è equivalente alla serie a termini alterni:

$a_0 + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{k_{n+1}k_{n}}.$

Corollario 4: La matrice

$\begin{bmatrix} h_n & h_{n-1} \\ k_n & k_{n-1} \end{bmatrix}$

ha determinante più o meno uno, e quindi appartiene al gruppo delle matrici unimodulari 2x2 $S^*L(2,\mathbb{Z})$ .

[modifica] Teorema 4

Ogni convergenza è più vicine alla n-esima convergenza delle altre precedenti convergenze. In siboli, se l' n-esima convergenza è supposta essere $[a_0;a_1,a_2,\ldots a_n]=x$ , allora

$\left|[a_0; a_1, a_2, \ldots a_r]-x\right|> \left|[a_0; a_1, a_2, \ldots a_s]-x\right|$

per ogni $r < s < n$ .

Corollario 1: le convergenze dispari crescono continuamente, ma sono sempre minori di $x .$

Corollario 2: le convergenze pari continuano a decrescere, ma sono sempre maggiori di $x .$

[modifica] Teorema 5

$\frac{1}{k_n(k_{n+1}+k_n)}< \left|x-\frac{h_n}{k_n}\right|< \frac{1}{k_nk_{n+1}}.$

Corollario 1: ogni convergenza è più vicina alla frazione continua rispetto a ogni altra frazione il cui denominatore è minore della convergenza.

Corollario 2: ogni convergenza che precede immediatamente un grande quoziente è una approssimazione più vicina alla frazione continua.

[modifica] Semiconvergenze

Se $\frac{h_{n-1}}{k_{n-1}}$ e $\frac{h_n}{k_n}$ sono convergenze successive, allora ogni frazione nella forma

$\frac{h_{n-1} + ah_n}{k_{n-1}+ak_n}$

con $a$ un intero non negativo e i numeratori e i denominatori compresi tra $n$ e $n + 1$ termini inclusivi sono chiatate semiconvergenze o convergenze secondarie. Spesso il termine sta ad indicare che essere una semiconvergenza esclude la possibilità di essere una convergenza, piuttosto che una convergenza sia un tipo di semiconvergenza.

Le semiconvergenze dell'espanzione delle frazioni continue del numero reale $x$ includono tutte le approssimazioni razionali che sono migliori di ogni approssimazioni con denominatori minori.

Un'altra proprietà utile è che semiconvergenze consecutive a/b e c/d sono tali che $ad-bc = \pm 1$ .

[modifica] Approssimazioni razionali migliori

La migliore approssimazione razionale a un numero reale x è un numero razionale ⁿ⁄_d, d > 0, che ha la caratteristica di essere più prossimo a x di qualunque altra approssimazione con un denominatore più piccolo. La frazione continua regolare per x genera tutte le migliori approssimazioni per x in accordo a queste 3 regole:

si tronchi la frazione continua, e possibilmente si diminuisca il suo ultimo termine.
Il termine decrementato non può avere meno della metà del valore iniziale.
se il termine finale è pari, una regola speciale decide se la metà del suo valore è ammissibile. (vedi sotto.)

Per esempio, 0,84375 ha una frazione regolare continua [0;1,5,2,2]. Sotto vi sono tutte le migliori approssimazioni razionali.

[0;1]	[0;1,3]	[0;1,4]	[0;1,5]	[0;1,5,2]	[0;1,5,2,1]	[0;1,5,2,2]
1	³⁄₄	⁴⁄₅	⁵⁄₆	¹¹⁄₁₃	¹⁶⁄₁₉	²⁷⁄₃₂

L'incremento strettamente monotòno nei denominatori come termini addizionali che sono inclusi, permette di creare un algoritmo per imporre un limite o sulla dimensione del denominatore o sulla vicinanza dell'approssimazione.

Per incorporare un nuovo termine in una approssimazione razionale, solo i due convergenti precedenti sono necessari. Se a è il nuovo termine, i nuovi numeratore e denominatore sono

n_k+1 = n_k−1 + a n_k

d_k+1 = d_k−1 + a d_k

I "convergenti" iniziali (richiesti per i primi due termini) sono ⁰⁄₁ and ¹⁄₀. Per esempio, ecco i convergenti per [0;1,5,2,2].

a_k			0	1	5	2	2
n_k	0	1	0	1	5	11	27
d_k	1	0	1	1	6	13	32

Una descrizione formale della regola della metà è che il termine dimezzato ½ a_k è ammissibile se e solo se

[a_k; a_k−1, …, a₁] > [a_k; a_k+1, …].

In pratica, viene spesso usato qualcosa come l'algoritmo di Euclide per l'MCD per generare i termini sequenzialmente, e i valori ausiliari che provvede permettono un test più conveniente. Per esempio, questa è la generazione dei termini per 0.84375 = ²⁷⁄₃₂.

a₀	= ⌊²⁷⁄₃₂⌋	= 0,	f₀	= 27 − 32a₀	= 27
a₁	= ⌊³²⁄₂₇⌋	= 1,	f₁	= 32 − 27a₁	= 5
a₂	= ⌊²⁷⁄₅⌋	= 5,	f₂	= 27 − 5a₂	= 2
a₃	= ⌊⁵⁄₂⌋	= 2,	f₃	= 5 − 2a₃	= 1
a₄	= ⌊²⁄₁⌋	= 2,	f₄	= 2 − 1a₄	= 0

Usando il valore f così generato, il test di ammissibilità per ½ a_k è d_k−2 / d_k−1 > f_k / f_k−1. Per l'a₃ dell'esempio, d₁ / d₂ = ¹⁄₆ and f₃ / f₂ = ¹⁄₂, così ½ a₃ non è ammissibile; mentre per a₄, d₂ / d₃ = ⁶⁄₁₃ e f₄ / f₃ = ⁰⁄₁, cosicché ½ a₄ è ammissibile.

[modifica] Espansione di π in frazione continua

Per calcolare le convergenze di π si può imporre a₀ = ⌊π⌋ = 3 (dove ⌊x⌋ indica la funzione floor), definire u₁ = 1/(π - 3) ≈ 113/16 = 7.0625 e a₁ = ⌊u₁⌋ = 7, u₂ = 1/(u₁ − 7) ≈ 31993/2000 = 15.9965 and a₂ = ⌊u₂⌋ = 15, u₃ = 1/(u₂ − 15) ≈ 1003/1000 = 1.003. Continuando in questo modo si può determinare la frazione continua infinita di π come [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...]. La terza convergenza di π è [3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3.14159292035..., che è molto vicino al valore esatto di π.

[modifica] Equazione di Pell

Le frazioni continue rivestono un ruolo essenziale nella soluzione dell'equazione di Pell. Per esempio, un intero positivo $p$ e $q$ , $p^2 - 2q^2 = \pm1$ se e solo se $p / q$ è una convergenza di $\sqrt2$

[modifica] Frazioni continue e chaos

[modifica] Voci correlate

mathematical constant (sorted by continued fraction representation)

[modifica] Collegamenti esterni

Online continued fraction calculator
Linas Vepstas The Minkowski Question Mark and the Modular Group SL(2,Z) (2004) reviews the isomorphisms of continued fractions.
Linas Vepstas Continued Fractions and Gaps (2004) reviews chaotic structures in continued fractions.
Linas Vepstas The Bernoulli Operator, the Gauss-Kuzmin-Wirsing Operator, and the Riemann Zeta (2004) reviews the continued fraction shift operator (the Gauss-Kuzmin-Wirsing operator).
Continued Fractions on the Stern-Brocot Tree at cut-the-knot
Francois Balsalobre cfc - a (cli) continued fraction calculator for POSIX and Cygwin
Continued Fractions and Fermat's Last Theorem.
Elementary introduction to continued fractions

[modifica] Bibliografia

A. Ya. Khinchin, Continued Fractions, 1935, English translation University of Chicago Press, 1961 ISBN 0-486-69630-8
Andrew M. Rockett and Peter Szusz, Continued Fractions, World Scientific Press, 1992.
H. Davenport, Aritmetica superiore, Zanichelli, Bologna, 1994, ISBN 8808091546 - Capitolo IV

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../f/r/a/Frazione_continua.html"

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