解析力学

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解析力学（かいせきりきがく）はニュートン力学を数学の解析学の手法を用いて記述する、数学的に洗練された形式。

力のつりあいについてのダランベールの原理から始め、つりあいを微小な変位による仕事の関係式に置き換える仮想仕事の原理によってエネルギーの問題に移した。

幾何光学における変分原理であるフェルマーの原理からの類推で、古典力学において最小作用の原理(モーペルテューイの原理)が発見された。これにより、力学系の問題は、作用積分とよばれる量を最小にするような軌道をもとめる数学の問題になった。

座標を一般化座標に拡張し、ラグランジュ方程式が導き出された。 さらに、ラグランジアンから一般化運動量を定め、座標と運動量のルジャンドル変換によって、ハミルトン力学が導かれた。

ラグランジュ方程式は微分方程式を与えるのに対して、ハミルトンの正準方程式は積分を与える。

さらにこれから、ハミルトン・ヤコビの偏微分方程式が、得られる。

ラグランジュ形式は微分幾何学とも相性がよく、相対性理論の分野では必須である。 ハミルトン形式はその後の量子力学とくに行列力学へと続く。

[編集] 関連項目

• ラグランジュ括弧
• ポアソン括弧
• ポアンカレーの運動方程式
• アイコナール方程式
• リウヴィユの定理