最小作用の原理

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最小作用の原理は解析力学の基礎となった最初期の力学の原理。運動は作用と呼ばれる量を最小にするような軌道にそって行われるということ。

古典力学における最大の法則であり、アインシュタイン方程式ですら、重力場のラグランジアンとこの法則を用いて導出される。この法則そのものは、ファインマンの経路積分の考え方によって理解できる。物体は運動において様々な運動経路（軌道）をとる事が可能であるが、作用が極値（鞍点値）をとる…すなわち最小作用の原理を満たす…経路が最も量子力学的な確率密度が高くなる事が知られている。

[編集] モーペルテュイの原理(Maupertuis' principle)

モーペルテュイの最小作用の原理とも言う。1747年、モーペルテュイ(P. L. M. Maupertuis)によって考え出された。一個の質点からなる系において、その質点が運動する経路を $l \,$ とすると、

$\delta \int 2K dt = \delta \int mv^2 dt = \delta \int mv {dl \over {dt}} dt = \delta \int mv dl = 0$

が成り立つ。この時、 $K$ は運動エネルギー、 $d l$ は質点の運動する経路の微小片の長さ、 $d l / d t = v$ は質点の速度、 $m$ は質点の質量である。つまり、上式の最右辺の式=0より、質点の運動量 $m v$ と微小片 $d l$ の積の積分に関する停留値問題に帰着する。これが、モーペルテュイの原理である。