Principio de mínima acción

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El principio de mínima o menor acción o principio de Hamilton es un presupuesto básico de la mecánica clásica y la mecánica relativista para describir la evolución a lo largo del tiempo del estado de movimiento de una partícula como de un campo físico. (También en mecánica cuántica Feynman y Kac intentaron formulaciones inspiradas en el principio).

[editar] Historia

La primera formulación del principio se debe a Pierre-Louis Moreau de Maupertuis, que dijo que la "naturaleza es económica en todas sus acciones". Entre los que desarrollaron la idea se incluyen Euler y Leibniz . Debe ser dicho que, desde el punto de vista del cálculo de variaciones, hablar de principio de acción estacionaria es más exacto. Anteriormente, Pierre de Fermat había introducido la idea de que los rayos de la luz, en situaciones ópticas tales como la refracción y la reflexión, seguían un principio de menor tiempo (ver principio de Fermat).

El principio de menor acción condujo al desarrollo de las formulaciones lagrangiana y hamiltoniana de la mecánica clásica. Aunque sean al principio más difíciles de captar, tienen la ventaja que su cosmovisión es más transferible a los marcos de la Teoría de la Relatividad y la mecánica cuántica que la de las leyes de Newton. Esto ha hecho pensar a alguna gente que este principio es un principio "profundo" de la física.

[editar] Formulación

La formulación del principio para un sistema lagrangiano es fijado un sistema de coordenadas generalizadas sobre el espacio de configuración (o una parte del mismo, llamada carta local), de todas las trayectorias posibles que transcurren entre el instante t₁ y t₂, el sistema escogerá aquella que minimice la acción S. La magnitud acción viene dada para cada trayectoria por la integral:

$S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(q_i(t), \dot{q}_i(t),t) dt$

Donde:

$q_i(t) \,$ son las coordenadas paramétricas de una trayectoria posible.

$L(q_i,\dot{q}_i,t) \,$ es la función lagrangiana del sistema.

Puede probarse mediante principios variacionales, que de todas las trayectorias posibles, la que hace mínima la anterior expresión es la que satisface precisamente que para todo i las ecuaciones de Euler-Lagrange:

$\frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i} \right ) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$

[editar] Partícula libre

La primera ley de Newton puede deducirse a partir del principio de mínima acción de las propiedades de homogeneidad e isotropía del espacio euclídeo tridimensional. Para una partícula libre la función lagrangiana debido a las propiedades de homogeneidad del espacio no depende explícitamente de las coordenadas de posición. Igualmente debido a la isotropía la dependencia en la velocidad de la partícula sólo puede depender del módulo al cuadrado de la velocidad. Eso nos lleva a que el lagrangiano debe ser de la forma:

$L(x,y,z;v_x,v_y,v_z) = \tilde{L}(v_x^2+v_y^2+v_z^2)$

Si tomamos un sistema de referencia inercial K' que se mueve respecto al sistema anterior a una velocidad muy pequeña V, tenemos que la velocidad y el lagrangiano se transforman de acuerdo con las siguientes leyes:

$\mathbf{v}' = \mathbf{v} + \mathbf{V}$

$L'(x',y',z';v'_x,v'_y,v'_z) = \tilde{L}(\|v\|^2+2\mathbf{v \cdot V}+\|V\|^2)$

Por tanto tendremos que para velocidades V pequeñas las formas funcionales de los dos lagrangianos están relacionadas por:

$\tilde{L}(\|v'\|^2) \approx \tilde{L}(\|v\|^2) + 2\frac{\partial\tilde{L}}{\partial v^2}\mathbf{v \cdot V}$

Como las trayectorias sólo pueden ser iguales si las dos funciones anteriores sólo difieren en una derivada total del tiempo, es necesario que exista una función de las coordenadas y del tiempo, tal que su derivada coincida con ese sumando. Eso sólo puede pasar si el segundo término es una función lineal de la velocidad cosa que sólo sucede si la derivada del segundo término se anula. Eso último a su vez requiere que:

$\tilde{L}(\|v\|^2) = a\|v\|^2 = a(v_x^2+v_y^2+v_z^2)$