二項定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

二項定理（にこうていり）とは、二項多項式 x + y の冪乗 (x + y)ⁿ の展開（二項展開）を表す公式のことである。これは、この展開の一般項 x^ky^n-k の係数を n と k のみで表す定理であるということもできる。

[編集] 概要

二項展開の一般項 x^ky^n-k の係数を二項係数と呼び、

$n \choose k$

とあらわす。すなわち定義から

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k y^{n-k}.$

が成り立つ。そして定理の主張はこの二項係数は n 個から k 個選ぶ組合せの数 _nC_k に等しいということである。これはまた、階乗を用いて表される：

${n\choose k} = {}_n{\rm C}_k = \frac{n!}{(n-k)!\,k!}.$

[編集] 可換環上への拡張

二項定理を適用する多項式 x + y は実数や複素数を係数とする多項式である必要はない。任意の単位的可換環上の多項式についても上の式が成立する。

正確には、可換環 R の単位元を 1_R とすると、各項の係数は

${n \choose k}1_R$

である。これは単位元の整数倍（可換環を自然な意味で整数環 Z 上の加群とみている）という意味である。たとえば、二元体 F₂ = Z / 2Z 上の多項式とみなすと F₂ の標数は 2、つまり 2 · 1₂ = 0 （ただし 1₂ は F₂ の単位元）であるから、

$(x+y)^2 = {2 \choose 0}1_2\cdot x^2 + {2 \choose 1}1_2\cdot xy + {2 \choose 2}1_2\cdot y^2$

$= 1_2 x^2 + 2\cdot 1_2 xy + 1_2 y^2 = x^2 + y^2$

などと計算することができる。

もう少し一般に、係数環の標数が p > 0（このとき p は素数である）なら、

$(x + y)^n = \sum_{k=0}^n \left[{n \atop k}\right]x^{n-k}y^k.$

ただし、 $\left[{n \atop k}\right]$ は ${n \choose k}$ を p で割った余りのこととする。またこのことと、 $p \choose k$ が、k = 0, p の場合を除いて p の倍数であることから、上で挙げた例の一般化として

(x + y) p = x p + y p

となることを得る（ただし、いま p は係数環の標数であったことを忘れてはいけない）。これはさらに

$(x+y)^{p^n} = x^{p^n} + y^{p^n}$

の形に一般化できる。これはとくに位数 q = pⁿ の有限体 GF(q) において各元を q 乗する写像

$x \mapsto x^q$

は GF(q) の（体としての）自己同型を与えることを示している。この自己同型写像はフロベニウス写像と呼ばれる。

[編集] 一般の二項定理

また、1 + x (|x| < 1) の任意の複素数 α 乗は次のように二項級数にテイラー展開される。このことを一般の二項定理などと呼ぶことがある。

$(1+x)^\alpha = \sum_{k=0}^{\infty} {\alpha \choose k} x^k.$

ただし、この展開の係数はポッホハンマーの記号(Pochhammer's symbol)

(α)_k = α(α + 1)(α + 2)…(α + k - 1), (α)₀ = 1

やガンマ関数 Γ(z)を用いて

${\alpha \choose k} = \frac{(\alpha-k+1)_k}{(1)_k} = \frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(k+1)\Gamma(\alpha-k+1)}$

と表される。α が自然数なら、これは既に定義したものと一致する。

[編集] 多項定理

多項定理とは、k 項多項式の冪乗 (x₁ + x₂ + … + x_k)ⁿ について展開の各項

$\mathbf{x}^\mathbf{p} = x_1^{p_1}x_2^{p_2}\cdots x_k^{p_k} \ (|\mathbf{p}|= p_1 + p_2 + \cdots + p_k = n)$

の係数を与える公式である。これを二項で行えば既に述べた二項定理となる。（なお多項式の指数ベクトルを用いた表示については多項式も参照。）

(x₁ + x₂ + … + x_k)ⁿ の一般項 x^p (p = (p₁, ..., p_k), |p| = n) の係数（多項係数）は

${n \choose \mathbf{p}},\quad {n \choose p_1,p_2,\ldots,p_k}$

などのように記される。すなわち、

$(x_1 + x_2 + \cdots + x_k)^n = \sum_{\mathbf{p}\in \mathbb{N}^k,\,|\mathbf{p}| = n} {n \choose \mathbf{p}} \mathbf{x}^{\mathbf{p}}.$

そして具体的に多項係数の値は

${n \choose \mathbf{p}} = \frac{n!}{p_1!\,p_2!\cdots p_k!}$

で与えられる。これについては順列も参照すると良い。

[編集] パスカルの三角形

2 項係数は次のようにしても求めることができる。ある次数の 2 項係数は、左上と右上にある前の次数の 2 項係数 2 つを足したものになる。数が書いていない空白は 0 と考える。

n
0						1
1					1		1
2				1		2		1
3			1		3		3		1
4		1		4		6		4		1
…	…

これをパスカルの三角形という。n が無限大のパスカルの三角形について奇数部分を白く、偶数部分を黒く塗りつぶすことで、フラクタル図形のひとつであるシェルピンスキーのギャスケットを作図することができる。

"http://ja.wikipedia.org../../../%E4%BA%8C/%E9%A0%85/%E5%AE%9A/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%AE%9A%E7%90%86.html" より作成

カテゴリ: 代数学 | 初等数学 | 組合せ論 | 定理 | 数学に関する記事