三進記数法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

改名：この記事のタイトルを、「3進記数法」もしくは「3進法」に変更することが提案されています。詳しくはノート:位取り記数法をご覧ください。

三進（位取り）記数法（さんしん-くらいどり-きすうほう）あるいは簡単に三進法（さんしんほう）は、数の表現方法の一つで、三を基数とする位取り記数法である。つまり、三個の数字のみを用いる記数法である。

[編集] 概要

任意の正の数は次のように表すことが出来る。

$a_N3^N + a_{N-1}3^{N-1} + \cdots + a_1 3 + a_0 + {a_{-1}\over 3} + {a_{-2}\over 3^2} + \cdots$

（ a_m は0,1,2のどれか）このとき、

$a_Na_{N-1}\ldots a_1a_0.a_{-1}a_{-2}\ldots$

と書くのが三進記数法である。

[編集] 演算

十進記数法と同様の計算を行う。加算及び乗算の結果は次のようになる。

加算

	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	10
2	2	10	11

乗算

	1	2
0	0	0
1	1	2
2	2	11

減算と除算は十進記数法と同様であり、加算及び乗算の結果を知っていれば計算できると思われるので省略する。

[編集] コンピュータでの使用

現在のコンピュータでは二進記数法が用いられている。 N 進記数法を用いた場合のコストが N に比例すると考えると、コストは log_NM に比例すると考えられる。（ M はレジスタが取りうる最大値に1を足したもの。）この式からもっともコストが小さくなるのは、 N=e のときと分る。（ e はネイピア数。）よってコストが最小になる整数は2か3であると分るが、実際に計算すると2より3の方が若干ではあるがコストが小さいことが分る。しかし、極めて小さい差であり、三進に変更するのは大変な作業のため、現在も二進が採用されている。

[編集] 平衡三進法

a_mの値を-1,0,1とする方法である。負の数も表せるため便利であるが、日常使う十進記数法と勝手が違うためあまり使用されていない。ここでは-1を $\bar{1}$ と表示することとする。この表記法は天秤で1g,3g,9g,27gの分銅を用いて1～40gのものの重さを量る方法とよく似ている。

[編集] 演算

平衡三進法では通常と若干違う演算が必要である。加算、乗算の結果は次のようになる。

加算

	$\bar{1}$	$0$	$1$
$\bar{1}$	$\bar{1}1$	$\bar{1}$	$0$
$0$	$\bar{1}$	$0$	$1$
$1$	$0$	$1$	$1\bar{1}$

乗算

	$\bar{1}$	$0$	$1$
$\bar{1}$	$1$	$0$	$\bar{1}$
$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$\bar{1}$	$0$	$1$

上の位に影響を及ぼすのは加算の２つだけである。二進と同様に乗算では上の位に影響を及ぼさない。減算は複雑そうに思えるが、加算の結果を知っていれば難しくない。減算では $\bar{1}$ と $1$ を入れ替えたものを加算する方法も有効である。ただし、除算は厄介である。

[編集] その他の表記法

二進と同様に-3進表記も考えられるが、平衡三進法が使えるため必要性があるかどうか疑問である。

[編集] それぞれの表記

十進表記	三進表記	平衡三進法		-3進表記
十進表記	三進表記	正の数	負の数	正の数	負の数
0	0	$0$		0
1	1	$1$	$\bar{1}$	1	12
2	2	$1\bar{1}$	$\bar{1}1$	2	11
3	10	$10$	$\bar{1}0$	120	10
4	11	$11$	$\bar{1}\bar{1}$	121	22
5	12	$1\bar{1}\bar{1}$	$\bar{1}11$	122	21
6	20	$1\bar{1}0$	$\bar{1}10$	110	20
7	21	$1\bar{1}1$	$\bar{1}1\bar{1}$	111	1202
8	22	$10\bar{1}$	$\bar{1}01$	112	1201
9	100	$100$	$\bar{1}00$	100	1200